Поиск простых чисел

[mihailm]

karina1999 в сообщении #734604 писал(а):

off, простите, что новичок прерывает дискуссию профессионалов, где в сети можно найти базы данных простых чисел, скажем, из 42-46 знаков? А то везде только "простые числа до 1000, до 10 000", то есть небольшие начальные БД.

Если нужно не очень много (например сто тысяч) таких чисел, то Мепл и Математика такие числа (46 знаков) щелкают как орешки, запускаете цикл проверки случайных 46-значных чисел на простоту, если простое - берете себе. Простые среди 46-значных встречаются часто, грубо говоря, каждое 100. Мой мепл за минуту выдал тыщу простых.

[karina1999]

Спасибо-)Жаль что выложенных баз нету. Сама сгенерю, конечно. Просто думала в сети поискать серьезные базы простых чисел. А то с одной стороны тема вроде бы раскрученная, а с другой к ней относятся как к игрушке.

[yk2ru]

Гипотеза - вопрос:
Простых чисел вида $6n-1$ больше чем вида $6n+1$ . ?
Если начиная с $n = 1$ записывать последовательно в столбик те числа $n$, при которых соответствующие числа простые, то увидим следующее:
$1, -1, 0$
$2, -2, 0$
$3, -3, 0$
$5, -4, 1$
$6, -5, 1$
$7, -7, 0$
$10, -8, 2$
...
$1112501, -1111092, 1409$
$1112507, -1111094, 1413$
$1112512, -1111099, 1413$
$1112513, -1111100, 1413$
$1112515, -1111103, 1412$
$1112517, -1111114, 1403$
С минусом записываем числа $n$, при которых число $6n-1$ простое. Правый столбик это сумма двух чисел слева.
Как эти числа ушли в положительную сторону, так вроде бы в минусовую сторону и не заходили ни разу. То есть пока что получается, что простых чисел вида $6n-1$ больше чем вида $6n+1$, если я только не перепутал. Есть ли такие числа $n$, при которых в правом столбике появятся отрицательные числа, не понятно.

[vorvalm]

По Дирихле их должно быть равное число .(if $n\rightarrow\infty$)

[Droog_Andrey]

yk2ru в сообщении #769325 писал(а):

Гипотеза - вопрос:
Простых чисел вида $6n-1$ больше чем вида $6n+1$ . ?

См. сначала тут: http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/PrimeRace.pdf‎

А затем, если осилите, вот тут: http://arxiv.org/abs/1301.1434

[vicvolf]

yk2ru в сообщении #769325 писал(а):

То есть пока что получается, что простых чисел вида $6n-1$ больше чем вида $6n+1$, если я только не перепутал. Есть ли такие числа $n$, при которых в правом столбике появятся отрицательные числа, не понятно.

С другой стороны действительно справедлива теорема Дирихле -

vorvalm в сообщении #769335 писал(а):

По Дирихле их должно быть равное число .(if $n\rightarrow\infty$)

Вывод, что при больших n, в правом стобике обязательно появятся отрицательные числа. Проверить это пока возможно не удасться, так нам известны пока не очень большие простые числа.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #769706 писал(а):

С другой стороны действительно справедлива теорема Дирихле -

vorvalm писал(а):

По Дирихле их должно быть равное число .(if $n\rightarrow\infty$)

Вывод, что при больших n, в правом стобике обязательно появятся отрицательные числа.

Даже если утверждение верно (я просто точно не знаю), то оно из теоремы Дирихле не следует.

[vorvalm]

Согласно теореме Дирихле

$\pi(x,k,l)\sim\frac{x}{\varphi(k)lnx},\;\;x\rightarrow\infty$

для $k=6,\l=1,\;\;\;\pi(x,6,1)\sim\frac{x}{2lnx}$

для$k=6,\l=5,\;\;\;\pi(x,6,5)\sim\frac{x}{2lnx}$

(Прахар, теорема 7.5)

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #769741 писал(а):

Согласно теореме Дирихле

$\pi(x,k,l)\sim\frac{x}{\varphi(k)lnx},\;\;x\rightarrow\infty$

для $k=6,\l=1,\;\;\;\pi(x,6,1)\sim\frac{x}{2lnx}$

для$k=6,\l=5,\;\;\;\pi(x,6,5)\sim\frac{x}{2lnx}$

(Прахар, теорема 7.5)

Ну верно. И дальше что?

[vorvalm]

Ничего. Просто число простых чисел $6n+1$ асимптотически
равно числу простых чисел $6n-1.$

[Руст]

Надо вначале уточнить, что значит одних больше других. По мощности их одинаковое количество. Отношение $\frac{\pi(x,6k+1)}{\pi(x,6k-1)}$ стремится к 1.
А вот разность $f(x)=\pi(x,6k-1)-\pi(6k+1)$ колеблется от - бесконечности до плюс бесконечности, тем не менее чаще положительно, даже
$\int_0^x f(x)dx$ стремится к плюс бесконечности примерно как $x^{3/2}$. В этом смысле простых вида $6k-1$ больше, чем простых вида $6k+1$. Аналогично сравниваются простые видов $4k-1$ и $4k+1$.

[vorvalm]

Когда и кем это доказано?

[Droog_Andrey]

Ссылку на Prime Number Races, я так понял, проигнорировали. Ну почитайте тогда хотя бы вот это:
http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_bias
http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870

Дело в том, что симметрично распределены степени простых чисел, а не сами простые. При отбрасывании степеней получаем отклонения из-за того, что степени распределены асимметрично (это очевидно).

Однако масштаб отклонений имеет тот же порядок малости, что и разброс по простым, поэтому отклонение меняет знак бесконечно много раз.

[Deggial]

Последующий флуд отделён

[yk2ru]

Droog_Andrey в сообщении #769824 писал(а):

Ссылку на Prime Number Races, я так понял, проигнорировали. Ну почитайте тогда хотя бы вот это:
http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_bias
http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870

Дело в том, что симметрично распределены степени простых чисел, а не сами простые. При отбрасывании степеней получаем отклонения из-за того, что степени распределены асимметрично (это очевидно).

Однако масштаб отклонений имеет тот же порядок малости, что и разброс по простым, поэтому отклонение меняет знак бесконечно много раз.

В сообщении есть "симметрично распределены степени простых чисел" и "из-за того, что степени распределены асимметрично (это очевидно)". Там про разные степени? Симметрично и асимметрично про одно и то же вроде бы не скажешь.