Аликвотные обобщения последовательности Фибоначчи

[Ktina]

Пусть у нас есть такая последовательность:

$$a_0=0,\quad a_1=1,\quad a_{n+2}=(a_n+a_{n+1})\cdot\frac{1}{k}$$

,
где $\frac{1}{k}$ есть аликвотная дробь.

При $k=1$ мы получаем обычную последовательность Фибоначчи, которая, как известно, не ограничена.
При $k=2$ мы получаем последовательность, стремящуюся, если не напутала, к $\frac{2}{3}$ (вроде, можно доказать по индукции, что расстояние до $\frac{2}{3}$ уменьшается вдвое с каждым шагом).

А что дальше? Все остальные к нулю стремятся? И как это доказать?

[nnosipov]

Явную формулу написать да посмотреть.

[Ktina]

nnosipov,
Как её вывести?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #700729 писал(а):

nnosipov,
Как её вывести?

Искать решение в виде $a_n=t^n$ (пока не обращая внимания на начальные условия)

[Ktina]

TOTAL,
И для каждого $k\in\mathbb N$ искать отдельное решение?
Это ж я на пенсию выйду оттуда.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #700734 писал(а):

TOTAL,
И для каждого $k\in\mathbb N$ искать отдельное решение?
Это ж я на пенсию выйду оттуда.

Я для каждого $k\in\mathbb N$ успел решил уравнение $x-k=0$, не дожидаясь пенсии.

[NhSsUe]

если нужны только пределы, то можно просто взять их от обеих частей равенства.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #700735 писал(а):

Я для каждого $k\in\mathbb N$ успел решил уравнение $x-k=0$, не дожидаясь пенсии.

Я тоже. Что это даёт?

-- 24.03.2013, 13:29 --

NhSsUe в сообщении #700737 писал(а):

если нужны только пределы, то можно просто взять их от обеих частей равенства.

Хотя бы только пределы. Правда, интереснее было бы найти общую закономерность.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #700738 писал(а):

TOTAL в сообщении #700735 писал(а):

Я для каждого $k\in\mathbb N$ успел решил уравнение $x-k=0$, не дожидаясь пенсии.

Я тоже. Что это даёт?

Решить уравнение $a_{n+2}=(a_n+a_{n+1})\cdot\frac{1}{k},$ как уже говорили.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #700739 писал(а):

Решить уравнение $a_{n+2}=(a_n+a_{n+1})\cdot\frac{1}{k},$ как уже говорили.

Что значит решить? Там же $a_n$ разные значения принимает.
Получается уравнение $x=(y+z)\cdot\frac{1}{k}$, и что? У него бесконечно много решений.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #700742 писал(а):

TOTAL в сообщении #700739 писал(а):

Решить уравнение $a_{n+2}=(a_n+a_{n+1})\cdot\frac{1}{k},$ как уже говорили.

Что значит решить?

Значит найти такое $t$, что $a_n=t^n$ удовлетворяет этому уравнению. Как уже было сказано.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #700744 писал(а):

Значит найти такое $t$, что $a_n=t^n$ удовлетворяет этому уравнению. Как уже было сказано.

А как искать? Подбором?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #700745 писал(а):

TOTAL в сообщении #700744 писал(а):

Значит найти такое $t$, что $a_n=t^n$ удовлетворяет этому уравнению. Как уже было сказано.

А как искать? Подбором?

Подставить $a_n=t^n$ в $a_{n+2}=(a_n+a_{n+1})\cdot\frac{1}{k}$.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #700750 писал(а):

Подставить $a_n=t^n$ в $a_{n+2}=(a_n+a_{n+1})\cdot\frac{1}{k}$.

У нас $a_0=0$ для всех $k\in\mathbb N$.
И как решить уравнение $0=t^0$, если любое число в нулевой степени равно 1?

[nnosipov]

Так, на начальные данные не смотреть, нет их. Подставляйте с буквой $n$.