нужно ли давать векторное произведение в школе?

[nikvic]

iifat в сообщении #698200 писал(а):

iifat

(Оффтоп)

У вас там ещё одна "неловкость". Векторное призведение - операция, то бишь функция. Ваши примеры - как бы величина.
Есть синус, и есть 0.3 - быть может, значение, полученное "синусованием", но совсем не обязательно.

[iifat]

nikvic в сообщении #698206 писал(а):

Ваши примеры - как бы величина

Не понял. Момент импульса есть векторное произведение радиус-вектора на импульс.

[Oleg Zubelevich]

Xaositect в сообщении #698111 писал(а):

ИМХО, только если есть возможность объяснить, что векторное произведение двух векторов - это не вектор.

вот это как раз то, что объяснять в школе не надо

-- Вт мар 19, 2013 16:47:46 --

notabene в сообщении #698177 писал(а):

http://www.math.ru/dic/624

...Математически верная формулировка
...
"Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на сомножителях" -- жесть

[notabene]

Извините, не понял иронии. В учебнике геометрии говорится о геометрическом смысле векторного произведения.

[Oleg Zubelevich]

площадь измеряется в квадратных метрах, модуль вектора-- в метрах. Что с этим определением будет если от метров перейти к сантиметрам улавливаете?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #698269 писал(а):

площадь измеряется в квадратных метрах, модуль вектора-- в метрах.

Ну дык. Там же сказано - "численно равен". Это как раз и значит, что наплевать на квадратность метров.

[Oleg Zubelevich]

нельзя на это наплевать, и словечко "чисмленно" не снимает проблему с этим определением. Для инженеров это определение сойдет, но называть его "математически правильным" не надо

[notabene]

Сбились мы как-то с темы. Вопрос был в том, нужно ли давать понятие? Я считаю, опираясь на учебники геометрии, написанные авторитетными педагогами и математиками, что нужно. Впоследствие, это поможет на первом курсе при изучении аналитической геометрии.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #698274 писал(а):

нельзя на это наплевать, и словечко "чисмленно" не снимает проблему с этим определением. Для инженеров это определение сойдет, но называть его "математически правильным" не надо

Для математиков, извините, векторы измеряются не в метрах. По крайней мере, в пространствах, снабжённых скалярным произведением.

-- 19.03.2013 18:29:11 --

P. S. А хотя бы и всего лишь формой объёма (структурой Ходжа).

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #698274 писал(а):

словечко "чисмленно" не снимает проблему с этим определением.

Нет проблем уточнить это определение так, чтобы оно было математически корректным. Математики это знают - но им это не нужно.

Ну а для инженеров достаточно "интуитивного" варианта.

[Oleg Zubelevich]

Один из возможных способов корректно определить векторное произведение следующий.

Определение. 1) Смешанным произведением векторов $a,b,c$ называется ориентированный объем $(a,b,c)$ пар-пипеда натянутого ит.д.
2) вектороным произведением векторов $a,b$ называется аксиальный вектор $[a,b]$ такой, что для любого вектора $c$ верно равенство $([a,b],c)=(a,b,c)$
Теорема. Определение корректно.
Док-во.....

-- Вт мар 19, 2013 17:33:49 --

Munin в сообщении #698282 писал(а):

. S. А хотя бы и всего лишь формой объёма (структурой Ходжа).

для векторного произведения нужна метрика, объема мало
а вообще "структура Ходжа" это для меня как-то сложно http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_structure

-- Вт мар 19, 2013 17:36:12 --

Munin в сообщении #698282 писал(а):

Для математиков, извините, векторы измеряются не в метрах. По крайней мере, в пространствах, снабжённых скалярным произведением.

так это вы расскажите автору того определения, мне-то все понятно

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #698286 писал(а):

Определение...
2) вектороным произведением векторов называется аксиальный вектор

Стоп-стоп-стоп. Вы ни аксиального вектора не ввели, ни от проблемы с квадратными метрами не избавились. Не слишком ли неаккуратно для претензий на математичность?

Oleg Zubelevich в сообщении #698286 писал(а):

Теорема. Определение корректно.
Док-во.....

Ну вот и где доказательство?

Oleg Zubelevich в сообщении #698286 писал(а):

для векторного произведения нужна метрика, объема мало

Согласен. Упомянул только для того, чтобы уточнить, в каких пространствах не роляют метры. Кстати, не все охватил, естественно (симплектические для примера). Но дальше обобщать - лень думать. Вам может быть интересное развлечение.

[Oleg Zubelevich]

под корректностью понимается, что такой аксиальный вектор существует и единственен. Существование доказывается тем, что я в ортонорированном базисе предъявляю координаты $[a,b]$ и проверяю, что для любого $c$ выполнено $([a,b],c)=(a,b,c)$. Единственность -- тривиально следует из ненвырожденности скалярного произведения: если $(x,c)=0$ для любого $c$ то $x=0$.
какие вы видите в этом проблемы?

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #698274 писал(а):

нельзя на это наплевать, и словечко "чисмленно" не снимает проблему с этим определением. Для инженеров это определение сойдет, но называть его "математически правильным" не надо

Какая проблема в том, чтобы длина вектора измерялась квадратными метрами? Есть векторы, длины которых измеряются в вольтах на метр или в метрах на квадратную секунду. Почему бы и не квадратные метры?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #698288 писал(а):

от проблемы с квадратными метрами не избавились

правильно не избавился, чтоб избавиться надо другое определение смешанного произведения давать, и мы придем к стандартному определению (сложному) которое я хотел обойти. Видимо, обойти нельзя.

-- Вт мар 19, 2013 18:03:01 --

epros в сообщении #698296 писал(а):

Какая проблема в том, чтобы длина вектора измерялась квадратными метрами?

ну я там выше объяснил, это можно понимать, можно не понимать

-- Вт мар 19, 2013 18:12:25 --

а может так попробуем. Векторным произведением называется билинейная операция ,которая на векторах данного ортонормированного положительно ориентированного базиса $\{e_i\}$ действует так $$[e_1,e_2]=e_3,\quad [e_2,e_3]=e_1,\quad [e_3,e_1]=e_2$.
Теорема. Результат действия данной операции на пару векторов $[a,b]$ дает аксиальный вектор ,который не зависит от выбора базиса с указанными свойствами и определен однозначно.