2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 11:37 


21/05/11
59
Всем добрый день! Представляю вам следующую классическую задачу на кинематику:

Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной а. Черепахи начинаются двигаться, каждая со скоростью V, так что 1-я черепаха держит вектор скорости всегда по направлению ко 2-й, 2-я к 3-й, 3-я к 4-й, а 4-я к 1-й. Вопрос задачи заключается в том, чтобы найти время и место встречи, а также траектории черепах.

Задачу я решил, но вот только возник некий парадокс. Для начала отметим, что из соображений симметрии черепахи встретятся в центре квадрата. Время встречи равно $t=a/V$.
Уравнение траектории в полярных координатах с центром в точке встречи принимает следующий вид:

$L=a/\sqrt{2} \exp{-b}$, где L - это длина радиус-вектора от центра квадрата до улитки, а угол b есть угол между радиус-вектором и диагональю квадрата.

Итак, парадокс заключается в следующем: мы нашли что время встречи конечно. А согласно уравнению траектории, L=0 только при b, стремящемся к бесконечности! Таким образом получается так, будто бы черепахи будут бесконечно кружиться вокруг центра квадрата, но при этом время встречи конечно. Это и есть мой вопрос! Что здесь не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 11:44 
Заслуженный участник


28/12/12
6972
RustamG в сообщении #695924 писал(а):
Таким образом получается так, будто бы черепахи будут бесконечно кружиться вокруг центра квадрата, но при этом время встречи конечно. Это и есть мой вопрос! Что здесь не так?
Все так. Ваш вопрос сродни известному зенонизму про Ахиллеса и черепаху (опять черепаха ;)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 11:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Ползут черепахи, а вектор направлен на улитку. Вот из-за этого :-) .

А как Вы получили, что время до встречи равно $a/V$?

И что, если посчитать днину спирали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 11:57 
Заслуженный участник


28/12/12
6972
gris в сообщении #695928 писал(а):
А как Вы получили, что время до встречи равно $a/V$?
Расстояние между соседними черепахами уменьшается со скоростью $V$.
Цитата:
И что, если посчитать днину спирали?
Должно получиться $a$, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Ну я и это имел в виду :-) . Длина спирали конечна, хотя она и имеет бесконечное число витков.
Но это только в том случае, если мы черепах представляем точками. А они, скорее, кружочки радиуса $R$. Тогда никакого парадокса. Черепахи будут двигаться бесконечно по окружности, радиусом $\sqrt2 R$, так как на плоскости они без налезания не могут имет одну общую точку, что означало бы их встречу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Можно найти угловую скорость черепах. Тогда она будет возрастать, и за конечное время черепахи смогут пройти бесконечный угол.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Munin в сообщении #696042 писал(а):
Можно найти угловую скорость черепах.

Каре из черепах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 02:01 


02/08/17
116
DimaM в сообщении #695934 писал(а):
Расстояние между соседними черепахами уменьшается со скоростью $V$.

Извиняюсь за тупость. Но если мы перейдем в систему координат одной из черепах, то вектор относительной скорости будет равен разности векторов. А так как вектора взаимно перпендикулярны, то разность будет гипотенузой с модулем соответственно корень из двух, умноженный на V. А не V. Где у меня ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 02:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
iliaborisov в сообщении #1532650 писал(а):
Где у меня ошибка?
В том, что вы считаете относительную скорость, хотя для задачи существенна скорость сближения черепах (и это разные вещи).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 11:52 


02/08/17
116
Pphantom в сообщении #1532651 писал(а):
iliaborisov в сообщении #1532650 писал(а):
Где у меня ошибка?
В том, что вы считаете относительную скорость, хотя для задачи существенна скорость сближения черепах (и это разные вещи).

В общем случае - это так. Но вроде бы когда скорость постоянно направлена к другой черепахе, это будет эквивалентно движению по прямой (одной черепахи относительно другой) ,где на этой прямой находятся обе черепахи. И тогда мы правомочны использовать относительную скорость как скорость сближения.
Правда я вроде бы понял,что я не учитываю то,что мои рассуждения возможно были бы правильными, если бы ускорение равно было бы нулю (вектоорное), а тут оно ненулевое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 11:57 


27/08/16
8581
iliaborisov в сообщении #1532661 писал(а):
И тогда мы правомочны использовать относительную скорость как скорость сближения.
Нет, конечно. Относительная скорость - это векторная величина, а скорость сближения - это проекция относительной скорости на соединяющий два тела отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 12:08 


02/08/17
116
realeugene в сообщении #1532663 писал(а):
iliaborisov в сообщении #1532661 писал(а):
И тогда мы правомочны использовать относительную скорость как скорость сближения.
Нет, конечно. Относительная скорость - это векторная величина, а скорость сближения - это проекция относительной скорости на соединяющий два тела отрезок.

но если она направлена вдоль этой самой прямой (по условию движение черепахи всегда направлена на другую черепаху) - то проекция ведь совпадет с самим вектором? Разве траетория движения одной черепахи в системе координат соседней черепахи не прямая, которая проходит через начало координат (начало координат мы связали с самой черепахой)? если прямая то проекция совпадает с самим вектором. вроде как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17731
Москва
iliaborisov в сообщении #1532665 писал(а):
но если она направлена вдоль этой самой прямой (по условию движение черепахи всегда направлена на другую черепаху)
Какое это имеет отношение к относительной скорости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 12:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
iliaborisov в сообщении #1532665 писал(а):
но если она направлена вдоль этой самой прямой (по условию движение черепахи всегда направлена на другую черепаху) - то проекция ведь совпадет с самим вектором?
Она так не направлена. Относительную скорость вы, в свою очередь, путаете со скоростью движения одной черепахи. В итоге получается химера, численно равная относительной скорости, а по направлению совпадающая со скоростью одной черепахи, модуль которой вы отождествляете с третьей величиной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 13:05 


02/08/17
116
Pphantom в сообщении #1532667 писал(а):
Относительную скорость вы, в свою очередь, путаете со скоростью движения одной черепахи. В итоге получается химера, численно равная относительной скорости, а по направлению совпадающая со скоростью одной черепахи, модуль которой вы отождествляете с третьей величиной.

То есть в системе координат связанной со скажем черепахой2 соседняя черепаха 1 не будет двигаться по прямой, проходящей через черепаху 2, несмотря на то,что в системе координат,связанной с самим квадратом вектор скорости черепахи 1 будет всегда направлен на черепаху 2?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group