2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 11:37 


21/05/11
59
Всем добрый день! Представляю вам следующую классическую задачу на кинематику:

Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной а. Черепахи начинаются двигаться, каждая со скоростью V, так что 1-я черепаха держит вектор скорости всегда по направлению ко 2-й, 2-я к 3-й, 3-я к 4-й, а 4-я к 1-й. Вопрос задачи заключается в том, чтобы найти время и место встречи, а также траектории черепах.

Задачу я решил, но вот только возник некий парадокс. Для начала отметим, что из соображений симметрии черепахи встретятся в центре квадрата. Время встречи равно $t=a/V$.
Уравнение траектории в полярных координатах с центром в точке встречи принимает следующий вид:

$L=a/\sqrt{2} \exp{-b}$, где L - это длина радиус-вектора от центра квадрата до улитки, а угол b есть угол между радиус-вектором и диагональю квадрата.

Итак, парадокс заключается в следующем: мы нашли что время встречи конечно. А согласно уравнению траектории, L=0 только при b, стремящемся к бесконечности! Таким образом получается так, будто бы черепахи будут бесконечно кружиться вокруг центра квадрата, но при этом время встречи конечно. Это и есть мой вопрос! Что здесь не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 11:44 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
RustamG в сообщении #695924 писал(а):
Таким образом получается так, будто бы черепахи будут бесконечно кружиться вокруг центра квадрата, но при этом время встречи конечно. Это и есть мой вопрос! Что здесь не так?
Все так. Ваш вопрос сродни известному зенонизму про Ахиллеса и черепаху (опять черепаха ;)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 11:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ползут черепахи, а вектор направлен на улитку. Вот из-за этого :-) .

А как Вы получили, что время до встречи равно $a/V$?

И что, если посчитать днину спирали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 11:57 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
gris в сообщении #695928 писал(а):
А как Вы получили, что время до встречи равно $a/V$?
Расстояние между соседними черепахами уменьшается со скоростью $V$.
Цитата:
И что, если посчитать днину спирали?
Должно получиться $a$, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ну я и это имел в виду :-) . Длина спирали конечна, хотя она и имеет бесконечное число витков.
Но это только в том случае, если мы черепах представляем точками. А они, скорее, кружочки радиуса $R$. Тогда никакого парадокса. Черепахи будут двигаться бесконечно по окружности, радиусом $\sqrt2 R$, так как на плоскости они без налезания не могут имет одну общую точку, что означало бы их встречу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Можно найти угловую скорость черепах. Тогда она будет возрастать, и за конечное время черепахи смогут пройти бесконечный угол.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение15.03.2013, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Munin в сообщении #696042 писал(а):
Можно найти угловую скорость черепах.

Каре из черепах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 02:01 


02/08/17
188
DimaM в сообщении #695934 писал(а):
Расстояние между соседними черепахами уменьшается со скоростью $V$.

Извиняюсь за тупость. Но если мы перейдем в систему координат одной из черепах, то вектор относительной скорости будет равен разности векторов. А так как вектора взаимно перпендикулярны, то разность будет гипотенузой с модулем соответственно корень из двух, умноженный на V. А не V. Где у меня ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 02:07 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
iliaborisov в сообщении #1532650 писал(а):
Где у меня ошибка?
В том, что вы считаете относительную скорость, хотя для задачи существенна скорость сближения черепах (и это разные вещи).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 11:52 


02/08/17
188
Pphantom в сообщении #1532651 писал(а):
iliaborisov в сообщении #1532650 писал(а):
Где у меня ошибка?
В том, что вы считаете относительную скорость, хотя для задачи существенна скорость сближения черепах (и это разные вещи).

В общем случае - это так. Но вроде бы когда скорость постоянно направлена к другой черепахе, это будет эквивалентно движению по прямой (одной черепахи относительно другой) ,где на этой прямой находятся обе черепахи. И тогда мы правомочны использовать относительную скорость как скорость сближения.
Правда я вроде бы понял,что я не учитываю то,что мои рассуждения возможно были бы правильными, если бы ускорение равно было бы нулю (вектоорное), а тут оно ненулевое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 11:57 


27/08/16
9426
iliaborisov в сообщении #1532661 писал(а):
И тогда мы правомочны использовать относительную скорость как скорость сближения.
Нет, конечно. Относительная скорость - это векторная величина, а скорость сближения - это проекция относительной скорости на соединяющий два тела отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 12:08 


02/08/17
188
realeugene в сообщении #1532663 писал(а):
iliaborisov в сообщении #1532661 писал(а):
И тогда мы правомочны использовать относительную скорость как скорость сближения.
Нет, конечно. Относительная скорость - это векторная величина, а скорость сближения - это проекция относительной скорости на соединяющий два тела отрезок.

но если она направлена вдоль этой самой прямой (по условию движение черепахи всегда направлена на другую черепаху) - то проекция ведь совпадет с самим вектором? Разве траетория движения одной черепахи в системе координат соседней черепахи не прямая, которая проходит через начало координат (начало координат мы связали с самой черепахой)? если прямая то проекция совпадает с самим вектором. вроде как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
iliaborisov в сообщении #1532665 писал(а):
но если она направлена вдоль этой самой прямой (по условию движение черепахи всегда направлена на другую черепаху)
Какое это имеет отношение к относительной скорости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 12:43 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
iliaborisov в сообщении #1532665 писал(а):
но если она направлена вдоль этой самой прямой (по условию движение черепахи всегда направлена на другую черепаху) - то проекция ведь совпадет с самим вектором?
Она так не направлена. Относительную скорость вы, в свою очередь, путаете со скоростью движения одной черепахи. В итоге получается химера, численно равная относительной скорости, а по направлению совпадающая со скоростью одной черепахи, модуль которой вы отождествляете с третьей величиной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о четырех черепахах
Сообщение25.09.2021, 13:05 


02/08/17
188
Pphantom в сообщении #1532667 писал(а):
Относительную скорость вы, в свою очередь, путаете со скоростью движения одной черепахи. В итоге получается химера, численно равная относительной скорости, а по направлению совпадающая со скоростью одной черепахи, модуль которой вы отождествляете с третьей величиной.

То есть в системе координат связанной со скажем черепахой2 соседняя черепаха 1 не будет двигаться по прямой, проходящей через черепаху 2, несмотря на то,что в системе координат,связанной с самим квадратом вектор скорости черепахи 1 будет всегда направлен на черепаху 2?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group