По поводу приближенного решения задачи Пфаффа.

[evgeniy]

Рассмотри трехмерную задачу Пфаффа. Т.е. задан градиент функции, и надо восстановить функцию
$\vec E(\vec r)=\nabla \varphi(\vec r) \eqno(1) $
Возьмем операцию дивергенция от этого равенства, получим
$ (\nabla, \vec E(\vec r))=\triangle \varphi(\vec r) \eqno(2) $
Уравнение (2) всегда решается, значение $\varphi(\vec r) $, удовлетворяющее (1), всегда удовлетворяет (2), но частное решение удовлетворяющее (2), не всегда удовлетворяет (1). Общее решение (2) удовлетворяет (1), если уравнение (1) разрешимо. Это следует из способа получения (2). Общее решение (2) получено путем дифференцирования (1), поэтому наряду с решением (1), содержит и лишние решения, но содержит и решение (1). Исключить лишние решения можно путем вычисления решения однородного уравнения, дополняющего частное решение (2) до общего решения (2). Получим частное решение (2)
$\varphi_0(\vec r)=\int \frac{(\nabla, \vec E(\vec R)) }{4 \pi |\vec r-\vec R|}dR_1dR_2dR_3$
Но решение не единственно, кроме частного решения существует решение однородного уравнения.
$\varphi_1(\vec r)=c_n \psi_n(\vec r) $
Оба эти решения удовлетворяют условию интегрируемости, $\nabla \times \vec E(\vec r)=0$
Причем приближенно выполняется
$\vec E=\int \frac{(\vec R-\vec r)(\nabla, \vec E(\vec R))}{4 \pi |\vec r-\vec R|^3}dR_1dR_2dR_3$
В случае отсутствия точного решения (1) нужно получать приближенное решение. Для этого методом наименьших квадратов определяются коэффициенты $c_n$. Причем минимизируемый квадрат отклонения нужно брать с весом, для получения более точного решение в точках максимума веса. При этом точки максимума веса заданы и в них получается почти точное решение. Если задача имеет точное решение, т.е. выполняется условие интегрируемости, то определится точное решение задачи. Если задача не разрешима, то получается приближенное решение, причем в точках с большим весом решение почти точное.

[shwedka]

Цитата:

В случае отсутствия точного решения (1) нужно получать приближенное решение.

Начиная с этого места -- размахивание руками. Понятие приближенного решения не определено. Понятие отклонения не определено. Понятие почти точного решения не определено.
Дайте определение, тогда может начаться предметный разговор.

[evgeniy]

Это никакое не размахивание руками. Просто уважение к пользователям, знающим метод наименьших квадратов. Все определения приближенного решения даны. Для этого необязательно писать формулы, достаточно их словесного описания. Это общеизвестная формула метода наименьших квадратов. Решения с помощью метода наименьших квадратов известно. Отличается введением весовой функции, позволяющей определять более точный результат при максимуме весовой функции. Ошибка метода считается путем подстановки вычисленных значений коэффициентов в заданное отклонение. Писать известные формулы считаю не целесообразным.

[evgeniy]

Вообще то я не знаю, что тут обсуждать. Проблема Пфаффа решена приближенно и от этого факта не отвертишься. Насколько это можно использовать в вычислениях определяет пользователь, можно определить не устранимую ошибку метода. Могу только сказать, что чем больше не удовлетворяются условия разрешимости задачи Пфаффа, тем ошибка решения больше.

[hurtsy]

evgeniy в сообщении #694861 писал(а):

Вообще то я не знаю, что тут обсуждать. Проблема Пфаффа решена приближенно и от этого факта не отвертишься.

А какая цель вашего поста? Вы ищете пользователя? С уважением.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #694826 писал(а):

Все определения приближенного решения даны.

Не даны. Дайте!

Цитата:

Для этого необязательно писать формулы, достаточно их словесного описания

Обязательно писать формулы. Когда Вы их напишете, будет видна ошибка.

Цитата:

Отличается введением весовой функции, позволяющей определять более точный результат при максимуме весовой функции.

укажите, в каком месте вводится весовая функция. От этого зависит оценка результата.

Цитата:

Ошибка метода считается путем подстановки вычисленных значений коэффициентов в заданное отклонение.

Подставлять некуда, поскольку отклонение не задано.

Цитата:

Писать известные формулы считаю не целесообразным.

Это у Вас всегда так. Формулы писать не хотите. А когда напишете эти 'известные формулы', то будет видна ошибка. Плюс Ваше непонимание.

Цитата:

Проблема Пфаффа решена приближенно и от этого факта не отвертишься.

Решение не наблюдается.

evgeniy в сообщении #694861 писал(а):

Могу только сказать, что чем больше не удовлетворяются условия разрешимости задачи Пфаффа, тем ошибка решения больше.

Чем Вы измеряете эти ошибки?

А, вообще, когда Вы все напишете, исправите, поймете, снова исправите, снова поймете, снова напишете...., ответьте на вопрос, что у Вас нового по сравнению, например, с написанным 35 лет назад в книге Тихонова, Арсеньева Методы решения некорректных задач.

[evgeniy]

shwedka Вы уж определитесь, в моем сообщении нет ничего нового, или оно не правильно. Я не знаю что есть у Тихонова Методы решения некорректных задач, знаю только, что брать дивергенцию для решения задачи Пфаффа я сам придумал, может быть повторив Тихонова и именно это я и хотел сообщить читателям. Возможно это решение не корректно поставленная задача, метод наименьших квадратов, это не корректно поставленная задача, но существуют методы решения не корректно поставленных задач. Важно, что принципиально задача приближенно решена, причем используя весовую функцию, можно добиться повышения точности. При этом необходимо задавать ширину весовой функции.

[shwedka]

Цитата:

в моем сообщении нет ничего нового, или оно не правильно.

Неверно. В Вашем сообщении нет ничего, кроме размахивания руками. Метод не изложен. Ошибки будут показаны, когда будет изложение -- я догадываюсь, в каком месте они будут. Вопрос новизны будет разрешаться, когда будут исправлены все ошибки.

Цитата:

Важно, что принципиально задача приближенно решена,

Не решена. Решение не предъявлено.Даже формулировка не предъявлена.

Цитата:

это не корректно поставленная задача

по этому поводу. Неправильно грамматически. Правильно: некорректная задача. Это не оценочное суждение, а математический термин.

[evgeniy]

я верил Вашему авторитету и когда Вы говорили, что задача решена не верно, я думал, что она решена не верно, но когда я написал, что система дифференциальных уравнений не имеет решение, так как неизвестное стремится к бесконечности и оно входит квадратично в правую часть дифференциального уравнения, и Вы грубо написали что это не правильно. Правильно говорить, что правая часть стремится к бесконечности или не существует. Но по мне это не ошибка, а математическое крючкотворство. теперь повторяется тоже самое, я не все формулирую, все формулировать невозможно, нужно писать целый трактат, Вы указываете на ошибки, которые я не подразумевал.

[shwedka]

Цитата:

я не все формулирую,

Вы ничего не формулируете. Поэтому результата нет.

Цитата:

Вы указываете на ошибки, которые я не подразумевал.

Когда Вы напишете что-то конкретное, я укажу на ошибки, которые Вы подразумевали.
Задам несколько вопросов, ответ на который необходим.

Цитата:

Т.е. задан градиент функции, и надо восстановить функцию

Задача во всем пространстве или в области? Граничные условия какие-то задаются?
Каково качество заданной вектор-фунции Е_ Она гладкая? непрерывная? суммируемая? идет к нулю на бесконечности?
Уравнение $\vec E(\vec r)=\nabla \varphi(\vec r) \eqno(1) $ решается в классическом смысле? в обобщенном? В каком обобщенном?
Частное решение \varphi_0 : a почему интеграл сходится? а почему ун удовлетворяет уравнению: там нужно дифференцировать под знаком интеграла, а почему в конкретном случае это можно?$\varphi_1(\vec r)=c_n \psi_n(\vec r) $ А что такое $\psi_n$? эта функция нигде ранее не определена. Что бы Ва о ней ни сказали, это нужно доказывать.

evgeniy в сообщении #694411 писал(а):

Оба эти решения удовлетворяют условию интегрируемости, $\nabla \times \vec E(\vec r)=0$
Причем приближенно выполняется
$\vec E=\int \frac{(\vec R-\vec r)(\nabla, \vec E(\vec R))}{4 \pi |\vec r-\vec R|^3}dR_1dR_2dR_3$

А поичему вдруг приближенно? ведь условия интегрируемости выполнены!
А что значит "приближенно"? В какой метрике? И как связаны погрешность в условии интегрируемости и погрешность в решении, как бы Вы их ни определяли?
И знайте, что в математике грош цена 'приближенному методу', если не оценена ошибка. Так что без оценки ошибки все Ваши разговоры о 'методе' решения - это треп кукурузный.
Метод наименьших квадратов: какое выражение Вы по этому методу минимизируете? и куда там вставляете вес? И сойдется ли интеграл, который вы напишете? И можете ли доказать, что в точках, где вес большой, ошибка - маленькая, при том, что ошибка не определена.

Цитата:

в точках с большим весом решение почти точное

А что это значит? понятие 'почти точное решение' не определялось!

Вот, этого всего вы не написали, а когда напишете, то еще какое-то Ваше непонимание полезет.

-- Ср мар 13, 2013 15:16:25 --

Цитата:

когда Вы говорили, что задача решена не верно,

Такого я не говорила. Могла написать, что задача решена неверно...
Где это было? не там ли, где Вы брали окрестность рациональной точки, где других рациональных точек нет? Или там, где Вы смело заявляли, что любой ряд, в смысле обобщенных функций, сходится -- или потом, где Вы поправились и оказалось, что всего лишь 'практически любой' ряд сходится. Что-то не припомню, уж выбор великоват!

[Deggial]

evgeniy, по правилам дискуссионного раздела, Вы должны прямо, явно отвечать на вопросы, которые Вам задают заслуженные участники, в противном случае тема будет закрыта:

Правила форума писал(а):

3. Дискуссионные темы
...
3.2. Публикуя свои взгляды на форуме, автор принимает на себя обязательства вежливо, четко и по существу отвечать на вопросы, заданные участниками обсуждения вежливо, четко и по существу. Безусловно обязательны ответы на вопросы, заданные несколькими участниками, представителями администрации или участниками форума, имеющими статус "Заслуженный". В случае невыполнения этих обязательств, игнорирования вопросов, а также если ответы и аргументы автора признаются участниками форума неубедительными или бессодержательными, тема может быть закрыта.
...

[evgeniy]

Рассмотри трехмерную задачу Пфаффа. Т.е. задан градиент функции, и надо восстановить функцию
$\vec E(\vec r)=\nabla \varphi(\vec r) \eqno(1) $
где функция $\vec E(\vec r)$, гладкая, имеет непрерывную частную производную, которая стремится к нулю на бесконечности, причем интеграл от производной сходится. При этом задача решается во всем пространстве.
Задача решается в среднеквадратичном приближении.
Возьмем операцию дивергенция от этого равенства, получим
$ (\nabla, \vec E(\vec r))=\triangle \varphi(\vec r) \eqno(2) $
Уравнение (2) всегда решается, значение $\varphi(\vec r) $, удовлетворяющее (1), всегда удовлетворяет (2), но частное решение удовлетворяющее (2), не всегда удовлетворяет (1). Общее решение (2) всегда удовлетворяет (1), если задача (1) имеет решение. Это следует из способа получения (2). Общее решение (2) получено путем дифференцирования (1), поэтому наряду с решением (1), содержит и лишние решения, но содержит и решение (1), если оно существует. Исключить лишние решения можно путем вычисления решения однородного уравнения, дополняющего частное решение (2) до общего решения (2). Получим частное решение (2)
$\varphi_0(\vec r)=\int \frac{(\nabla, \vec E(\vec R)) }{4 \pi |\vec r-\vec R|}dR_1dR_2dR_3$
Но решение не единственно, кроме частного решения существует решение однородного уравнения Лапласа
$\varphi_1(\vec r)=c_n \psi_n(\vec r) $
Совокупность этих решений при заданных коэффициентах ряда приближенно решают задачу Пфаффа в заданной точке.
Приближенно справедливо равенство (3). Равенство приближенное так как это не интегральное уравнение и для заданной функции E может не удовлетворяться. Если можно доказать это равенство для функций, являющихся градиентом, то задача Пфаффа была бы решена точно при любых функциях E, но задача Пфаффа решается только при заданных условиях на эти функции
$\vec E=\int \frac{(\vec R-\vec r)(\nabla, \vec E(\vec R))}{4 \pi |\vec r-\vec R|^3}dR_1dR_2dR_3$\eqno(3)
Можно дифференцировать под знаком интеграла, так как продифференцированный интеграл сходится
Так как общее решение (2) приближенно удовлетворяет (1), то достаточно вычислить коэффициенты $c_n$ из метода наименьших квадратов. Т.е. необходимо минимизировать выражение в зависимости от коэффициентов $c_n$
$\int \sum_{l=1}^3 [E_l(\vec r)-\frac{\partial (\varphi_0 (\vec r)-\sum_n c_n \psi_n(\vec r))}{\partial r_l}]^2 \exp(-\sum_{k=1}^3 (r_k-r_k^0)^2/ \sigma^2)dr_1dr_2dr_3$
Причем даже если величина $\exp(-\sum_{k=1}^3 (r_k-r_k^0)^2/ \sigma^2) $ равна дельта функции, определитель, полученный из системы линейных уравнений по определению коэффициентов $c_n$ не равен нулю при количестве членов ряда, равном трем, т.е. определителе размером 3*3, так как каждый член определителя получен как сумма трех членов. При этом три члена ряда определяют значения коэффициентов $c_n$, таким образом, что ошибка равна нулю в одной точке.
При этом получим систему линейных уравнений
$\int \sum_{l=1}^3 \sum_n \frac{\psi_m(\vec r)}{\partial r_l}\frac{\psi_n(\vec r)}{\partial r_l} \exp(-\sum_{k=1}^3 (r_k-r_k^0)^2/\sigma^2)dr_1dr_2dr_3 \times c_n=\int \sum_{l=1}^3 [E_l(\vec r)- \frac{\partial \varphi_0 (\vec r)}{\partial r_l}]\frac{\partial \psi_m(\vec r)}{\partial x_l} \exp(-\sum_{k=1}^3 (r_k-r_k^0)^2/ \sigma^2)dr_1dr_2dr_3 $
Решая эту систему линейных уравнений, определим величину коэффициентов $c_n$. Тогда ошибка определения коэффициентов $c_n$ определится по формуле
$\int \sum_{l=1}^3 [E_l(\vec r)-\frac{\partial (\varphi_0 (\vec r)-\sum_n c_n \psi_n(\vec r))}{\partial r_l}]^2 \exp(-\sum_{k=1}^3 (r_k-r_k^0)^2/ \sigma^2)dr_1dr_2dr_3 \eqno(4) $
Отметим, что точность определения потенциала в точке $x_k^0$ определяется точностью определения градиента этой функции по формуле (4) и при большом числе членов ряда стремится к среднеквадратичной ошибке по определению трех функций с помощью трех разных рядов, но с одинаковыми коэффициентами. Причем формула более точная, чем среднеквадратичная ошибка трех функций, аппроксимируемых таким способом, так как в каждой точке $x_k^0$ имеются свои коэффициенты $c_n$.
Shwedka я все это изложил, чтобы Вы нашли ошибку, но ошибки нет, или ошибка из-за вашего математического крючкотворства, что я ошибкой не считаю. Мое дело предложить алгоритм, а дальше математики пусть его обрабатывают. А задача, о которой я говорил, касалось комплексного решения обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений, где действительное решение стремится к бесконечности, а комплексное решение конечно, в случае наличия комплексных положений равновесия, что я показал на конкретном примере и что носит общий характер.
Так дифференциальное уравнение
$\frac{dx}{dt}=1+x^2$
имеет бесконечное решение, а для комплексных начальных условиях решение конечно. При записи неявной схемы численного решения получается комплексное решение при начальных действительных условиях.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #695356 писал(а):

уравнения Лапласа
$\varphi_1(\vec r)=c_n \psi_n(\vec r) $

Итак -$\psi_n$-какие-то решения уравнения Лапласа. А какие? Как их выбираете? Как их строите? Сколько берете?

evgeniy в сообщении #695356 писал(а):

Причем даже если величина $\exp(-\sum_{k=1}^3 (r_k-r_k^0)^2/ \sigma^2) $ равна дельта функции,

Эта величина никогда не равна дельта-функции.

evgeniy в сообщении #695356 писал(а):

т.е. определителе размером 3*3, так как каждый член определителя получен как сумма трех членов.

У Вас где-то доказано, что если каждый член определителя - сумма трех членов, то определитель не ноль? Или это только ваша личная убежденность?

Хватит для начала

[evgeniy]

1. Можно выбрать любые решения уравнения Лапласа, например сферические функции $R^{\pm n} Y_{nm}(\vartheta,\varphi)$. Количество членов ряда и дисперсия весовой функции выбирается из минимума ошибки аппроксимации. Задаться фиксированным радиусом и строить решение с положительной степенью радиуса для внутренней части и с отрицательной степенью радиуса для внешней с одинаковым коэффициентом для внешней и внутренней части.
2. Я и не говорю, что это дельта функция, а говорю, если весовую функцию выбрать в качестве дельта функций.
3. Определитель состоит из элементов $a_{nm}=\psi_{1n}\psi_{1m}+\psi_{2n}\psi_{2m}+\psi_{3n}\psi_{3m}, n,m=1,...,3$ и он не равен нулю в общем случае. если он состоит из $a_{nm}=\psi_{1n}\psi_{1m}$ то он равен нулю.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #695418 писал(а):

и он не равен нулю в общем случае.

Вам хочется в это верить . Но доказать не можете.

evgeniy в сообщении #695418 писал(а):

2. Я и не говорю, что это дельта функция, а говорю, если весовую функцию выбрать в качестве дельта функций.

То есть как это не говорите? Именно это и говорите! У меня все ходы записаны.

Цитата:

Причем даже если величина $\exp(-\sum_{k=1}^3 (r_k-r_k^0)^2/ \sigma^2) $ равна дельта функции,

evgeniy в сообщении #695418 писал(а):

Количество членов ряда и дисперсия весовой функции выбирается из минимума ошибки аппроксимации.

А тут что-то новое! И как конкретно вы их выбираете?

Цитата:

Мое дело предложить алгоритм, а дальше математики пусть его обрабатывают.

А Вы будете со своего Олимпа взирать на их шебуршание, временами поправляя нимб?
А не приходило ли Вам в голову, что для задач такого типа, называемых некорректными, уже много десятилетий существуют алгоритмы получения приближенных решений, для которых работа по оптимизации, по оценке погрешности и тп проведена. Может, почитаете предложенную мною книгу, и обнаружите, что все, что Вы мутно и смутно в качестве 'гениальной идеи' предлагаете, в культурной форме давным давно предложено, оформлено, реализовано.