По поводу приближенного решения задачи Пфаффа.

[evgeniy]

Доказательство
В данном случае все три слагаемые, из которых состоит каждый член определителя не нулевые. Добьемся, чтобы первый столбец был одинаков. ДЛя чего разделим каждую строку на $\psi_{1n}$
$\psi_{1m}+\varphi_{2n}\psi_{2m}+\varphi_{3n}\psi_{3m}$
Вычитая из второй и третьей строки первую, получим столбец с первым не нулевым членом, а остальные элементы равны нулю. Далее приведем матрицу к треугольному виду этим способом, и значит определитель этой матрицы не равен нулю.
Количество членов и дисперсия выбирается численно из минимума ошибки, можно путем перебора а можно аппроксимировать формулу перебора, найдя для фиксированного числа элементов ошибку, а далее решая аппроксимирующее уравнение. Это обычная схема выбора количества элементов ряда в радиотехнике. Вернее по ошибке определять свойства решения.
Я допускаю, что некорректные задачи исследованы. Но у меня новый подход в решении задачи Пфаффа, по уравнению Лапласа, я почти уверен, что этого не делали. А это создает условия для почти точной аппроксимации. Но при этом ошибка тем больше, чем система менее удовлетворяет условию интегрируемости. Напишите, если я ошибаюсь.

[shwedka]

Цитата:

Далее приведем матрицу к треугольному виду этим способом, и значит определитель этой матрицы не равен нулю.

и не значит. Были бы Вы правы, получилось бы, что у любой матрицы с ненулевыми элементами определитель не ноль, что, конечно, не так!

Цитата:

можно путем перебора а можно аппроксимировать формулу перебора, найдя для фиксированного числа элементов ошибку, а далее решая аппроксимирующее уравнение.

И с этой хохмой Вы едете в Одессу? Перебор. Еще предложите способ угадайки.

Цитата:

Но у меня новый подход в решении задачи Пфаффа, по уравнению Лапласа, я почти уверен, что этого не делали.

И откуда такая почти уверенность? Без анализа литературы?

Цитата:

А это создает условия для почти точной аппроксимации.

Пустые слова. Понятие почти точной аппроксимации не определено. Оценкой погрешности заниматься считаете ниже своего достоинства. Откуда, кроме личной убежденности, такая уверенность в чудесатости 'метода'?

[evgeniy]

нет матрица имеет определенную структуру, состоит из одного не нулевого элемента $\psi_{nm}$, который записан в определенной виде. опровергните мое доказательство о приведении к треугольному виду. дЛя первого столбца я доказал, аналогично для оставшейся матрице 2*2, которая имеет туже структуру.
В приближенных вычислениях допускаются и не такие хохмы.
shwedka для меня это больной вопрос. Иногда, то что я придумываю оказывается известным. Но в основном у меня оригинальные идеи. Чаще решается то, что я придумал другим способом, или как с метрическим интервалом с двумя декартовыми углами на криволинейной поверхности я ошибаюсь. Но с двумя углами я все таки нашел решение в комплексном пространстве, что имеет приложение в теории струн. Нашел я и решение с переходом к одномерному пространству, вдоль заданных траекторий. Причем имеются формулы перехода из многомерного пространства к одномерному, и из одномерного в многомерное. но там свои проблемы. При переходе из бесконечности в конечную область, происходит переход к другой ветви квадратного уравнения, причем граничная точка комплексная, поэтому интегрировать дифференциальное уравнение надо из бесконечности до комплексного нуля квадратного корня, а далее в конечную область.

[shwedka]

Цитата:

опровергните мое доказательство о приведении к треугольному виду.

Опровергать нечего, поскольку доказательства нет.
Написано'аналогично', но не доказано, что после операций, приведших к одному элементу в первом столбце, не окажется, что какой-то из оставшихся столбцов нулевой.

Так что, как водится у Вас, ошибка в недоказанности.

evgeniy в сообщении #695512 писал(а):

Но с двумя углами я все таки нашел решение в комплексном пространстве, что имеет приложение в теории струн.

Знаем, знаем, все ряды сходятся.

[evgeniy]

С двумя углами получилось неявно заданное дифференциальное уравнение
$H(\frac{df(\varphi)}{d\varphi},\frac{dg(\varphi)}{d\varphi},\varphi)=0$
$G(\frac{df(\varphi)}{d\varphi},\frac{dg(\varphi)}{d\varphi},\varphi)=0$
Решаем эти дифференциальные уравнения, задавая начальные условия из условия периодичности решения
$f(\varphi)=f(\varphi+2\pi),g(\varphi)=g(\varphi+2\pi)$
и получаем неизвестные периодические функции без исследования сходимости ряда.
Приведу доказательство для двумерного случая. Уравнение приводится к виду
$a_{nm}=\psi_{1m}+\psi_{2n}/\psi_{1n}\psi_{2m}\eqno(1)$
При этом вторая строка имеет вид
$a_{21}=0;a_{22}=(\psi_{22}/\psi_{12}-\psi_{21}/\psi_{11})\times \psi_{22} $
так как матрица $\psi_{nm}$ не вырождена, получаем что матрица (1) не вырождена. Аналогичные вычисления для матрицы третьего порядка, только вычисления громоздкие.

[evgeniy]

Исследуем алгоритм существования решения приведенного в предыдущем посте дифференциального уравнения. Для существования решения необходимо, воспользовавшись теоремой о среднем значении
$f(\varphi_0+2\pi)=f(\varphi_0)+S[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi$
$g(\varphi_0+2\pi)=g(\varphi_0)+K[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi$
В силу периодичности решения имеем
$S[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi=0$
$K[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi=0$
Теперь надо воспользоваться видом функций S,K, и получим полином от двух переменных, который имеет комплексное решение $f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0))$, получим ограниченное количество таких решений.

[shwedka]

Цитата:

Для существования решения необходимо,

да, необходимо, но достаточность не доказана. до нее далекоооооо!

Цитата:

Теперь надо воспользоваться видом функций S,K,

Опять, кто-то за Вас должен! Надо, мол.

Цитата:

Исследуем алгоритм существования решения

Высказывание безграмотно. У существования нет алгоритма. Должно быть доказательство!

Цитата:

Приведу доказательство для двумерного случая

Доказательство ЧЕГО?

[evgeniy]

shwedka в сообщении #696013 писал(а):

Цитата:
Приведу доказательство для двумерного случая

Доказательство ЧЕГО?

Доказательство того, что определитель из метода наименьших квадратов не равен нулю. Приведено доказательство для двумерного случая, что определитель
$\psi_{1n}\psi_{1m}+\psi_{2n}\psi_{2m}$
одновременно с определителем
$\psi_{nm}$
обращается в ноль. А так как определитель последнего выражения не равен нулю, значит и определитель метода наименьших квадратов не равен нулю.

Докажем достаточные условия. Допустим справедливо
$S[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi=0$
$K[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi=0$
тогда интегрируя дифференциальное уравнение с помощью теоремы о среднем, получим
$f(\varphi_0+2\pi)=f(\varphi_0)+S[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi=0$
$g(\varphi_0+2\pi)=g(\varphi_0)+K[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi=0$
так как S,K равны нулю, получим периодическое решение.

shwedka в сообщении #696013 писал(а):

Высказывание безграмотно. У существования нет алгоритма. Должно быть доказательство!

Доказательство существования может состоять из построения решения с помощью алгоритма. Если я не ошибаюсь это соответствует конструктивной математике.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #696056 писал(а):

тогда интегрируя дифференциальное уравнение с помощью теоремы о среднем, получим
$f(\varphi_0+2\pi)=f(\varphi_0)+S[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi=0$
$g(\varphi_0+2\pi)=g(\varphi_0)+K[f(\nu(\varphi_0)),g(\lambda(\varphi_0)),\varphi_0]\times 2\pi=0$
так как S,K равны нулю, получим периодическое решение вы ничего не получили!

A решение где? Вы интегрируете уравнение, предполагая, что решение есть. а пока решения нет, некого интегрировать.

evgeniy в сообщении #695876 писал(а):

так как матрица $\psi_{nm}$ не вырождена

А доказать?

Цитата:

получим полином от двух переменных

А каких переменных? И где он, этот полином?

Цитата:

Теперь надо воспользоваться видом функций S,K

у вас нет никакого вида этих функций. Напишите!

[evgeniy]

Матрица $\psi_{nm}$ не вырождена в силу ее построения. Она состоит из продифференцированных независимых функций $\frac{\partial R^{\pm n}Y_{nm}(\vartheta,\varphi)}{\partial q_k},q_1=R,q_2=\vartheta,q_3=\varphi $
Имеется дифференциальное уравнение решение которого надо определить как периодическое с помощью метода стрельбы. Если решение определится с помощью численной схемы, то оно существует, если нет, то решение не существует. Тут не надо ничего доказывать. Я считал сколько решений определится для данной системы нелинейных уравнений, заданной неявно, а доказывать их сходимость нет необходимости. Если конфета есть, то ее можно съесть или нет без всякого доказательства.

[shwedka]

Цитата:

Имеется дифференциальное уравнение решение которого надо определить как периодическое с помощью метода стрельбы. Если решение определится с помощью численной схемы, то оно существует, если нет, то решение не существует.

То есть Вы предлагаете благодарным пользователям гениальной идеи искать то, чего нет!
И сколько раз нужно стрелять, чтобы убедиться, что решения нет? одного раза Вам хватит? Или трех? Или 1000000000?
Это при том, что уже 170 лет, как действительный тайный советник, профессор Гаусс, объяснил, что решений нет.
Нет уж, если Вы заявляете, что Проф. Гаусс неправ, то Вы должны сами это доказать, а не перекладывать на пользователей эту работу.

Цитата:

надо определить

вам надо -- Вы и определяйте! Возьмите стандартные сферические координаты и стреляйте. А потом опубликуйте результат!

Цитата:

Она состоит из продифференцированных независимых функций

Понятие независимых функций не определено.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #695876 писал(а):

С двумя углами получилось неявно заданное дифференциальное уравнение
$H(\frac{df(\varphi)}{d\varphi},\frac{dg(\varphi)}{d\varphi},\varphi)=0$
$G(\frac{df(\varphi)}{d\varphi},\frac{dg(\varphi)}{d\varphi},\varphi)=0$

Да, и в уравнениях Вы, как обычно, наврали. Производные по второй переменной исчезли.
Решать нужно уравнения с частными производными. А там стрелять не получится.
И, да будет Вам известно, нередко бывает, что УЧП даже локально не являются разрешимыми. Так что до периодичности дело даже и не дойдет, Вы даже в маленькой области не сможете доказать разрешимость.

[evgeniy]

Две действительные функции f,g называются независимыми, если не существует действительных чисел a,b чтобы выполнялось равенство af+bg=0.
Я не сказал, что аргументы входят в это выражение в виде $\exp(i\varphi)$ и задача решается в комплексной плоскости, так что Гаусс тут не причем и противоречия с ним нет.
Вы путаете. Там переменные углы входят симметрично, поэтому приравнивая их получаем такое уравнение. Там функции f,g зависят от одной переменной, поэтому чтобы их определить можно провести такое преобразование.
Т.е. имеется система уравнений
$G(\varphi_1,\varphi_2,f(\varphi_1),f(\varphi_2),g(\varphi_1),g(\varphi_2),\frac{df}{d\varphi_1},\frac{df}{d\varphi_2},\frac{dg}{d\varphi_1},\frac{dg}{d\varphi_2})=0$
$H(\varphi_1,\varphi_2,f(\varphi_1),f(\varphi_2),g(\varphi_1),g(\varphi_2),\frac{df}{d\varphi_1},\frac{df}{d\varphi_2},\frac{dg}{d\varphi_1},\frac{dg}{d\varphi_2})=0$
Чтобы определить функции $f(\varphi),g(\varphi)$ достаточно приравнять аргументы в силу их симметрии, и получим требуемое дифференциальное уравнение.

[shwedka]

Цитата:

Там переменные углы входят симметрично, поэтому приравнивая их получаем такое уравнение.

Цитата:

Там функции f,g зависят от одной переменной, достаточно приравнять аргументы в силу их симметрии

Обычная грубая безграмотность. Если по-честному будете считать, то такого не получится. Симметрическую функцию двух переменных невозможно восстановить по ее значениям при равных переменных! Уравнения в частных производных можно оооооооочень редко свести к обыкновенным.
Вот, скажем, для симметрической функции известно, что $ f(x,x)=0$. Найдите $f(x,y)$

evgeniy в сообщении #698136 писал(а):

две действительные функции f,g называются независимыми, если не существует действительных чисел a,b чтобы выполнялось равенство af+bg=0.

Это всюду, или в одной точке?

Цитата:

и задача решается в комплексной плоскости, так что Гаусс тут не причем и противоречия с ним нет.

Это Вы придумали! У Вас пока никакой задачи нет. Вот напишите правильно уравнения, потом по-честному объясните, что значит ее решать в комплексной плоскости. или опять у Вас гениальная идея, а всем остальным ''надо'' заниматься проверками?

[evgeniy]

Эту тему я поднимал и все подробно описывал и вид преобразования приводил. Не хотелось бы повторяться, но по видимому необходимо
$x=r \exp(i\varphi_1)f(\varphi_1)/R$
$y=r \exp(i\varphi_2)f(\varphi_2)/R$
$z=r g(\varphi_1)g(\varphi_2)/R$
$R^2=\exp(2i\varphi_1)f^2(\varphi_1)+\exp(2i\varphi_2)f^2(\varphi_2)+g^2(\varphi_1)g^2(\varphi_2) $
При этом приравниваем $g_{11}=g_{22}=1,g_{12}=g_{21}=0 $, что в силу симметрии преобразования сводится к двум равенствам. Причем величины f,g необходимо определить.

Функции независимы, если невозможно равенство af+bg=0, где f,g функции и значит заданы на множестве точек, а величины a,b действительные фиксированные числа.