2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гармонический МНК
Сообщение05.03.2013, 00:42 


01/03/13
705
Возникла у меня такая потребность:
Аппроксимировать дискретный сигнал из $N$ равноудаленных выборок, где $N=1000-10000$, обычными гармониками, т.е. суммой из $M$ функций типа $ A\cos(wi)+B\sin(wi)$, где $M=30-50$. Причем круговые частоты не обязаны быть кратны основному периоду (это для того, чтобы можно как можно при меньшем $M$ лучше опроксимировать сигнал).
Естесственно выбрал метод МНК. Составил выражение для суммы квадратов отклонений. Взял производные по $A$ и $B$. Получается СЛАУ из $2M$ уравнений с $2M$ неизвестными. При заданых частотах коэф-ты $A$ и $B$ нахожу при помощи метода Гаусса.
Для определения частот успользую итеррационный могомерный метод Ньютона. Вобщем что я могу сказать (сам я не математик). Сходимость не квадратичная. Сумма квадратов минимизируется плавно, причем на определенных итеррациях происходят скачки как вверх так и вниз, т.е. слишком много и рядом расположенных локальных минимумов и происходит перепригывание.
Никакой практической пользы для моего случая нет (хотя аппроксимация худо, но есть), а очень жаль.
Вобщем может кто подскажет методические пособия или теоретические сведения по данной тематике. Обычные учебники по численным методам я читал, мне нужно именно по "Гармоническому МНК". Было бы не плохо, если бы существовал какой-нибудь имперический метод для расчета тех самых частот, которые можно было использовать как начальное приближение при оптимизации, в результате которой решение было бы близко к глобальному минимуму.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.03.2013, 06:35 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5708
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Наберите формулы ТеХом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.03.2013, 18:06 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение05.03.2013, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6187
Москва
Ну, я бы начал с Фурье. Причём не ко всему отрезку данных, а разбив его на участки, в каждом из которых ожидается несколько периодов самой низкой частоты, и усреднив спектры (ну и окна можно использовать, и перекрытие). И по спектру оценить частоты.
Или же авторегрессией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение05.03.2013, 19:20 
Аватара пользователя


21/01/09
3151
Дивногорск
А какая цель этой аппроксимации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение05.03.2013, 19:54 


01/03/13
705
Александрович в сообщении #691529 писал(а):
А какая цель этой аппроксимации?

Минимальным числом параметров аппроксимировать реальный аудиосигнал. Использовать намереваюсь в аудиокодеке.

-- 05.03.2013, 21:56 --

Евгений Машеров в сообщении #691504 писал(а):
Ну, я бы начал с Фурье. Причём не ко всему отрезку данных, а разбив его на участки, в каждом из которых ожидается несколько периодов самой низкой частоты, и усреднив спектры (ну и окна можно использовать, и перекрытие). И по спектру оценить частоты.
Или же авторегрессией.

Не думаю, что это будет работать. Вообще-то я думал, что по этой тематике есть теоретические и практические нароботки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение05.03.2013, 21:13 


16/02/10
236
Osmiy в сообщении #691287 писал(а):
Возникла у меня такая потребность:
Аппроксимировать дискретный сигнал из $N$ равноудаленных выборок, где $N=1000-10000$, обычными гармониками, т.е. суммой из $M$ функций типа $ A\cos(wi)+B\sin(wi)$, где $M=30-50$. Причем круговые частоты не обязаны быть кратны основному периоду (это для того, чтобы можно как можно при меньшем $M$ лучше опроксимировать сигнал)...


Смотрите метод Прони, который позволяет решить задачу именно в вашей постановке: аппроксимация сигнала суммой произвольных экспонент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение05.03.2013, 22:06 


01/03/13
705
VPro в сообщении #691559 писал(а):
Смотрите метод Прони

Мне нужно именно аппроксимация гармониками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение05.03.2013, 22:23 


16/02/10
236
Osmiy в сообщении #691580 писал(а):
VPro в сообщении #691559 писал(а):
Смотрите метод Прони

Мне нужно именно аппроксимация гармониками.

Вы ее и получите. Открою тайну: гармоники (синусы и косинусы) это разновидность экспоненты. Я уже давал здесь ссылку (спасибо Евгению Машерову за его сайт): См С.Л. Марпл-младший. Цифровой спектральный анализ и его приложения. ( со стр. 365). Обратите внимание на модифицированный метод Прони (стр. 376)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение06.03.2013, 02:35 


01/03/13
705
Вот что я подумал если взять, например, $N=1000$ и $M=1000000$ ($N$- кол-во выборок, $M$- кол-во гармоник; по сути это уже будет не аппроксимация, а спектр. анализ), то чему будет равна разрешающая способность $\frac {2\pi}{N}$ или $\frac {2\pi}{M}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение06.03.2013, 07:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6187
Москва
И авторегрессия, и Фурье в реальных аудиокодеках применялись (первое даже с успехом, для второго надо бы стационарный сигнал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение06.03.2013, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6187
Москва
Вообще, раз уж тут мой сайт упомянули - dsp-book.narod.ru
Увы, давно не обновлял, поскольку достиг максимума объёма, а в связи с последними реорганизациями Яндекса - может, и вовсе погибнет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение07.03.2013, 12:09 


16/02/10
236
Евгений Машеров в сообщении #691924 писал(а):
Вообще, раз уж тут мой сайт упомянули - dsp-book.narod.ru
Увы, давно не обновлял, поскольку достиг максимума объёма, а в связи с последними реорганизациями Яндекса - может, и вовсе погибнет.

Очень жаль. Часто пользуюсь для справок. И, в этой связи, хотелось бы там увидеть кнопочку "скачать все".

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение29.04.2013, 14:26 


29/04/13
1
На сайте http://www.pselab.ru есть программа, в которой реализована возможность разложить сигнал на неортогональные синусоиды (комплексные экспоненты) методом, который вы описали выше и методом Прони. Программа неплохая, а самое главное, что она бесплатна изначально. С ней вы сможете разобраться подходит вам этот метод или не стоит с ним возиться дальше. Также этот метод хорошо описан в работах Дмитриева Е.В. (http://short-signal-sp.pochta.ru/), где есть много формул для реализации метода, но нет работающей программы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический МНК
Сообщение30.04.2013, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6187
Москва
Боюсь, сайт помер окончательно под напором инноваторов, модернизаторов и эффективных менеджеров. Пытаюсь восстановить, но...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group