Теорема Вейерштрасса

[ewert]

Ward в сообщении #690946 писал(а):

Что нам мешает сказать, что отсюда дзета-функция сходится равномерно при $\operatorname{Re}s>1$ так как выбор $\varepsilon>0$ у нас вообще произвольный

Ничего -- не считая того, что для такого вывода нет решительно никаких оснований.

Сформулируйте же наконец точное определение равномерной сходимости -- из него всё станет ясно.

SpBTimes в сообщении #690921 писал(а):

А что за такая компактность у тов. Шабата?

Судя по всему, в том круге вопросов -- самая обычная. У него лишь добавляется понятие "компактной принадлежности" к области.

[Ward]

Последовательность функций $F_n(x)$ сходится равномерно к $F(x)$ на множестве $E$, если для любого $\varepsilon>0$ найдет такой номер $N_{\varepsilon}$, что для всех номеров $n>N_{\varepsilon}$ и все точек $x\in E$ выполняется неравенство $|F_n(x)-F(x)|<\varepsilon$

[ewert]

Так вот. В обозначении $N_{\varepsilon}$ индекс формально излишен -- он вставляется лишь для подчёркивания того факта, что $N$ зависит от ${\varepsilon}$, но не зависит от $x$. Но это вовсе не означает, что $N_{\varepsilon}$ не зависит от множества $E$ !

[Someone]

Ward в сообщении #690946 писал(а):

Что нам мешает сказать, что отсюда дзета-функция сходится равномерно при $\operatorname{Re}s>1$ так как выбор $\varepsilon>0$ у нас вообще произвольный

Мешает то, что ничто не мешает остатку ряда (1) неограниченно возрастать при $\varepsilon\to 0^+$. Я же выше давал оценку остатка. Её можно сделать двусторонней (напоминаю, что речь идёт о действительном $s>1$):

$$\frac 1{(s-1)(n+1)^{s-1}}\leqslant r_n\leqslant\frac 1{(n+1)^s}+\frac 1{(s-1)(n+1)^{s-1}}.$$

Для комплексного $s=\sigma+it$, удовлетворяющего условию $\sigma>1$, можно получить оценку сверху:

$$|r_n|\leqslant\frac 1{(n+1)^{\sigma}}+\frac 1{(\sigma-1)(n+1)^{\sigma-1}}.$$

ewert прав: чтобы понять, в чём дело, нужно сформулировать точное определение равномерной сходимости ряда. Сделайте это, пожалуйста. Комбинируя это определение и приведённые мной оценки остатка, можно будет разобраться, почему ряд сходится равномерно в области $\operatorname{Re} s>1+\delta$ и не сходится равномерно в области $\operatorname{Re} s>1$.

Ага, пока писал. появилось определение. Давайте переформулируем его для ряда.
Ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}f_k(x)$ равномерно сходится на множестве $E$, если он сходится на множестве $E$, и для каждого $\varepsilon>0$ существует такой номер $n_{\varepsilon}$, что для всех $n>n_{\varepsilon}$ и всех $x\in E$ выполняется неравенство $|r_n(x)|<\varepsilon$, где $r_n(x)=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}f_k(x)$ - $n$-ый остаток ряда.

[Ward]

Уважаемый Someone
Вы действительно написали безупречно и понятно при $\sigma\to1+$ остаток ряда будет неограниченным. Какая может быть тут равномерная сходимость раз остаток себя ведет так?
Но с другой стороны при любом $\delta>0$ наш ряд $\zeta(s)$ сходится равномерно при $\sigma\geqslant 1+\delta$. Раз $\delta>0$ можно взять произвольным, то $1+\delta$ будет очень близко к $1$ справа. Получаем равномерную сходимость при $\sigma>1$
Мне очень неловко, что этот вопрос я уже задаю неоднократно Вам и Вы всячески пытаетесь объяснить, но я не понимаю. Получаем с одной стороны одно утверждение, но с другой стороны другое.

-- 04.03.2013, 12:30 --

При $\sigma>1$ существует $\sigma_0$ такое, что $\sigma>\sigma_0>1$ Получаем, что

$$|r_n|<\dfrac{1}{(n+1)^{\sigma_0}}+\dfrac{1}{(\sigma_0-1)(n+1)^{\sigma_0-1}}<\varepsilon$$

[ewert]

Ward в сообщении #690975 писал(а):

то $1+\delta$ будет очень близко к $1$ справа. Получаем равномерную сходимость при $\sigma>1$

Ещё раз: что такое равномерная непрерывность? И что будет происходить с $N_{\varepsilon}$ при Вашем предельном переходе?

[bot]

Ward в сообщении #690975 писал(а):

Мне очень неловко, что этот вопрос я уже задаю неоднократно Вам и Вы всячески пытаетесь объяснить, но я не понимаю.

Может быть это поможет? Мы имеем дело с объединением замкнутых отрезков, на каждом из которых выполнено чьё-то свойство. Вы без всякого обоснования хотите перенести неважно какое свойство с каждого члена объединения на всё объединение. Однако далеко не всякое свойство такой перенос выдержит - ну, хотя бы само свойство замкнутости взять.

[Ward]

bot в сообщении #691021 писал(а):

хотя бы само свойство замкнутости взять.

а какое именно свойство?
Вы меня хорошо поняли. Равномерная сходимость (в дальнейшем я буду называть свойством) выполнена при $\operatorname{Re}s\geqslant 1+\delta$ для любого $\delta>0$.

ewert в сообщении #691010 писал(а):

Ещё раз: что такое равномерная непрерывность? И что будет происходить с $N_{\varepsilon}$ при Вашем предельном переходе?

Равномерная непрерывность или равномерная сходимость?
Вроде равномерная непрерывность нам тут не нужна.

[Ward]

ewert в сообщении #691010 писал(а):

Ward в сообщении #690975 писал(а):

то $1+\delta$ будет очень близко к $1$ справа. Получаем равномерную сходимость при $\sigma>1$

Ещё раз: что такое равномерная непрерывность? И что будет происходить с $N_{\varepsilon}$ при Вашем предельном переходе?

Вы здесь наверное имели ввиду равномерную сходимость?

[bot]

Ward в сообщении #691056 писал(а):

а какое именно свойство?

Дык я говорил: свойство множества быть замкнутым. Если одного примера недостаточно, рассмотрите ещё парочку очевидных - свойство множества быть конечным или ограниченным.

bot в сообщении #691021 писал(а):

Вы без всякого обоснования хотите перенести неважно какое свойство с каждого члена объединения на всё объединение.

[ewert]

Ward в сообщении #691091 писал(а):

Вы здесь наверное имели ввиду равномерную сходимость?

Да, конечно, сходимость.

Вообще же надо уметь переводить определения на другой язык -- не только для технических целей, но и для лучшего понимания. Ваше

Ward в сообщении #690958 писал(а):

Последовательность функций $F_n(x)$ сходится равномерно к $F(x)$ на множестве $E$, если для любого $\varepsilon>0$ найдет такой номер $N_{\varepsilon}$, что для всех номеров $n>N_{\varepsilon}$ и все точек $x\in E$ выполняется неравенство $|F_n(x)-F(x)|<\varepsilon$

эквивалентно следующему:

Последовательность функций $F_n(x)$ сходится равномерно к $F(x)$ на множестве $E$, если $\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in E}|F_n(x)-F(x)|=0.$

Ну и если это верно для $E(\delta)$ для каждого $\delta>0$ -- следует ли отсюда, что это же верно и для $E(0)$ ?

[Ward]

ewert в сообщении #691095 писал(а):

Ну и если это верно для $E(\delta)$ для каждого $\delta>0$ -- следует ли отсюда, что это же верно и для $E(0)$ ?

Да верно!
Уважаемый ewert!
Я неправильно ответил да?

[SpBTimes]

Ward в сообщении #691106 писал(а):

Я неправильно ответил да?

Неправильно.
Вы же должны были и раньше сталкиваться с понятием равномерности. Тут часто существенна так называемая "отделимость".

(Оффтоп)

Было ли понятие равномерной непрерывности функции?
Функция $f(x): E \to \mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной на множестве $E$, если $\forall x_1, x_2 \in E$ таких, что $|x_1 - x_2| < \delta$ выполнено $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$.
Теперь рассмотрите "школьную гиперболу" $y = \frac{1}{x}$. Данная функция, очевидно, непрерывна на интервале $(0; 1)$, однако не является равномерно непрерывной на этом интервале. Действительно, взяв последовательности точек $x_n = \frac{1}{n}$ и $y_n = \frac{1}{n + 1}$ мы получим, что $|y(x_n) - y(y_n)| = 1$, не смотря на то, что $|x_n - y_n| \to 0$.
Совсем другое дело, если взять интервал $(a; 1)$, где $a \geqslant \delta > 0$. Равномерная непрерывность следует хотя бы из неравенства $|\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}| = |\frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}| \leqslant |\frac{x_1 - x_2}{a^2}|$.
Если взгялнуть на график, то видно, что $\frac{1}{x}$ очень резко растет при $x \to 0+$, так что не существует единой $\delta$, при которой для всех $x_1, x_2$, которые отличаются меньше, чем на $\delta$, разность значений функций будет тоже мала. Тут и нужна эта отделимость, как и в вашем примере.

[ex-math]

Во-первых, перестаньте называть функцию равномерно сходящейся. Равномерно сходиться может ряд, представляющий функцию.

Во-вторых, Вам надо лучше освоить понятие равномерной сходимости. Начните с вещественного случая. Классический пример (разберите его подробно):

последовательность $f_n(x)=x^n$ равномерно сходится к нулю на промежутке $[0,1-\delta]$ для любого положительного $\delta$, но не на $[0,1)$. Следовательно, предельная функция непрерывна на $[0,1-\delta]$, а значит и на $[0,1)$.

Дело в том, что непрерывность, аналитичность, дифференцируемость -- локальные свойства. Аналитичность в области -- это аналитичность в каждой точке. Если $\mathrm{Re} s>1$, то найдется $\delta$ такое, что $\mathrm{Re} s>1+\delta$, значит в точке $s$ дзета-функция аналитична. А вот равномерная сходимость -- глобальное свойство, оно определяется не для отдельных точек, а для множества в целом. Как Вам показали, для множества $\mathrm{Re} s>1$ оно не имеет места в случае ряда Дирихле для дзета-функции.