2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 20:32 


03/08/12
458
Здравствуйте!

Если ряд $f(z)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}f_n(z)$ из функций, голоморфных в некоторой области $D$, сходится равномерно на любом компактном подмножестве этой области, то
1) сумма этого ряда голоморфна в $D$
2) ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке D любое число раз.

Извиняюсь, но я не совсем понимаю что значит равномерная сходимость в компактном подмножестве области $D$?
Просто я эти термины еще не совсем хорошо знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 20:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Вы знаете понятие равномерной сходимости ряда на множестве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 20:40 


03/08/12
458
Да уважаемый SpBTimes.
Я знаю понятие равномерной сходимости на множестве

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
А понятие компактного множества?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 21:36 


03/08/12
458
SpBTimes
Цитирую из книги Шабата
Цитата:
Множества, лежащие в каком-либо круге $\{|z|<R\}, R<\infty$ мы будем называть компактными
Не знаю это то, что нужно или нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
А точно не $|z| \leqslant R$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 21:45 


03/08/12
458
Нет там точно стоит знак строгого неравенства. А что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Это весьма странно. Множество называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами, можно выделить конечное подпокрытие.
В $R^n$ свойство компактности равносильно наличию ограниченности и замкнутости. Мн-во $C$ - есть ни что иное, как $R^2$, а $|z| < R$ - открытый круг, не являющийся компактом (он предкомпактен, т.к. замыкание компактно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 22:02 


03/08/12
458
SpBTimes
Да Вы действительно четко объяснили!
Прочитав Ваше сообщение я ответил на несколько своих вопросов :-)
А так в книге да действительно знак строго неравенства, но я думаю, что не совсем существенно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Ward в сообщении #690805 писал(а):
но я думаю, что не совсем существенно


Весьма существенно это вообще-то.
Но, думаю, вопрос в начале снят

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 22:22 


03/08/12
458
Если взять допустим функцию $\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}$.
Она сходится абсолютно и равномерно при $\operatorname{Re}s>1$, а последнее у нас является областью (т.к. она открыта и линейно связна). Также у нас $f_n(s)=\frac{1}{n^s}$ голоморфны в $D=\{s \mid \operatorname{Re}s>1\}$ ($f_n(s)$ являются $\mathbb{C}$-дифференцируемыми в окрестности каждой точки области $D$ потому они $\mathbb{R}$-дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана).
Также $\zeta(s)$ равномерно сходится в компактных подмножествах области $D$.
Значит $\zeta(s)$ голоморфна в области $D$.
Если я правильно понимаю, то условие 2) теоремы означает это: $$\zeta^{'}(s)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^s}\right)^{'}=\sum \limits_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}$$ Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Верно, только если производную вычислить правильно.
И все это справедливо именно на компактных подмножествах. Иначе требуются доп. исследования и обоснования

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 22:38 


03/08/12
458
SpBTimes в сообщении #690817 писал(а):
И все это справедливо именно на компактных подмножествах. Иначе требуются доп. исследования и обоснования
Это касается дзета-функции или вообще теоремы? Здесь я Вас что-то не понял. Был бы признателен если бы Вы написали, что Вы имели ввиду.
Да производную я неправильно посчитал(знак забыл) и получается, что $$\zeta'(s)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}-\frac{\ln n}{n^s}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Мы же обсуждаем применимость теоремы, а не св-ва дзета-функции =)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Вейерштрасса
Сообщение03.03.2013, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
Ward в сообщении #690791 писал(а):
SpBTimes
Цитирую из книги Шабата
Цитата:
Множества, лежащие в каком-либо круге $\{|z|<R\}, R<\infty$ мы будем называть компактными
Не знаю это то, что нужно или нет
Это всё определение? Там после слова "компактными" что-нибудь ещё не написано?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group