2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказательство иррациональности
Сообщение11.02.2013, 20:43 
Пытался доказывать иррациональность числа $\sqrt[3]{3}$. Предположил противное. Пусть $\exists y \in \mathbb{Q}: \ y=\sqrt[3]{3}$, $y=\frac{m}{n}, \ m,n \in \mathbb{N}$, причём $gcd{(m,n)}=1$. Тогда $y^3=3 \ \Leftrightarrow \ m^3=3n^3$. Далее рассматривал разные варианты чётности чисел $m$ и $n$. При $m=2k$ и $n=2p$, $m=2k$ и $n=2p-1$, $m=2k-1$ и $n=2p$ получил противоречие. При рассмотрении случая, когда $m=2k-1$ и $n=2p-1$, получил $4k^3-6k^2+3k=12p^3-18p^2+9p$. Как показать, что правая и левая части равенства имеют разную чётность?
Есть ли иной способ доказательства?

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение11.02.2013, 20:49 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Доказательство иррациональности
Сообщение11.02.2013, 20:53 
Ошибся: $8k^3-12k^2+6k-1=24p^3-36p^2+18p-3$.

 
 
 
 Re: Доказательство иррациональности
Сообщение11.02.2013, 20:57 
Nameless_2013 в сообщении #682608 писал(а):
Как показать, что правая и левая части равенства имеют разную чётность?

А при чем тут четность? Из $m^3 = 3n^3$ следует, что $m$ делится на $3$.

 
 
 
 Re: Доказательство иррациональности
Сообщение11.02.2013, 21:02 
AV_77 в сообщении #682611 писал(а):
Nameless_2013 в сообщении #682608 писал(а):
Как показать, что правая и левая части равенства имеют разную чётность?

А при чем тут четность? Из $m^3 = 3n^3$ следует, что $m$ делится на $3$.


А из того, что $m=3k$, следует $n^3=9k^3$ и $n=3p$. Противоречие. Верно?

 
 
 
 Re: Доказательство иррациональности
Сообщение11.02.2013, 21:05 
Да, потому что если $n$ не делится на 3, то $n^2$ не может делиться на 9, и $n^3$ — тоже.

 
 
 
 Re: Доказательство иррациональности
Сообщение11.02.2013, 21:10 
Понятно. Спасибо.

 
 
 
 Re: Доказательство иррациональности
Сообщение11.02.2013, 21:13 
Ой, я слишком лишнего написал. Если $n$ не делится на 3, то $n^3$ тоже не делится на 3. А на 9 — подавно.

 
 
 
 Re: Доказательство иррациональности
Сообщение11.02.2013, 21:15 
Если $m=3k, n =3p$, то $\gcd{(m,n)} \not= 1 $.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group