Доказательство иррациональности

[Nameless_2013]

Пытался доказывать иррациональность числа $\sqrt[3]{3}$. Предположил противное. Пусть $\exists y \in \mathbb{Q}: \ y=\sqrt[3]{3}$, $y=\frac{m}{n}, \ m,n \in \mathbb{N}$, причём $gcd{(m,n)}=1$. Тогда $y^3=3 \ \Leftrightarrow \ m^3=3n^3$. Далее рассматривал разные варианты чётности чисел $m$ и $n$. При $m=2k$ и $n=2p$, $m=2k$ и $n=2p-1$, $m=2k-1$ и $n=2p$ получил противоречие. При рассмотрении случая, когда $m=2k-1$ и $n=2p-1$, получил $4k^3-6k^2+3k=12p^3-18p^2+9p$. Как показать, что правая и левая части равенства имеют разную чётность?
Есть ли иной способ доказательства?

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Nameless_2013]

Ошибся: $8k^3-12k^2+6k-1=24p^3-36p^2+18p-3$.

[AV_77]

Nameless_2013 в сообщении #682608 писал(а):

Как показать, что правая и левая части равенства имеют разную чётность?

А при чем тут четность? Из $m^3 = 3n^3$ следует, что $m$ делится на $3$.

[Nameless_2013]

AV_77 в сообщении #682611 писал(а):

Nameless_2013 в сообщении #682608 писал(а):

Как показать, что правая и левая части равенства имеют разную чётность?

А при чем тут четность? Из $m^3 = 3n^3$ следует, что $m$ делится на $3$.

А из того, что $m=3k$, следует $n^3=9k^3$ и $n=3p$. Противоречие. Верно?

[arseniiv]

Да, потому что если $n$ не делится на 3, то $n^2$ не может делиться на 9, и $n^3$ — тоже.

[Nameless_2013]

Понятно. Спасибо.

[arseniiv]

Ой, я слишком лишнего написал. Если $n$ не делится на 3, то $n^3$ тоже не делится на 3. А на 9 — подавно.

[Nameless_2013]

Если $m=3k, n =3p$, то $\gcd{(m,n)} \not= 1 $.