Однородное гравитационное поле и отклонение геодезических

[apv]

Из-за кривизны пространства-времени, наблюдается отклонение геодезических, которое описывается уравнением (МТУ1, стр. 71):

$$\frac{D^2\xi^{\alpha}}{d\tau^2}=R^{\alpha}_{\beta\gamma\delta}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}\xi^{\gamma}\frac{dx^{\delta}}{d\tau} \eqno{(1)}$$

Визуально, такое отклонение можно представить себе, пронаблюдав движение двух пробных частиц в присутствии сферически-симметричной массы.

В случае однородного гравитационного поля, такого отклонения геодезических как бы быть не должно, т.к. ускорение свободного падения одинаково в любой точке.

Понятно, такое поле можно реализовать, в равноускоренной системе отсчета, в таком случае все компоненты тензора кривизны будут нулевыми, и уравнение (1) правильно утверждает, что отклонения геодезических не будет.

Но если однородное поле будет создано бесконечным однородным плоскоским слоем, в таком случае, компоненты тензора кривизны отличны от нуля, тогда согласно (1), будет отклонение. Получается, что такие поля, хоть они и однородны, можно различить. Мне кажется такая ситуация парадоксальной. Есть ли объяснения?

Расчет компонент тензора кривизны для однородного поля я нашел в этой статье:
А. Ф. Богородский Об однородном поле тяжести а общей теории относительности. Весник Киевского университета, №13 серия Астрономия, 1971, стр. 16-21 (djvu)

[Munin]

Богородский пишет, что второе его решение (он нашёл два решения, одно из которых не имеет расхождения геодезических) совпадает с решением Тауба. Я на него гляжу в Хокинге-Эллисе, и как-то не понимаю, как оно может быть однородным полем от бесконечного плоского слоя.

[apv]

Munin в сообщении #674283 писал(а):

...Тауба. Я на него гляжу в Хокинге-Эллисе, и как-то не понимаю, как оно может быть однородным полем от бесконечного плоского слоя.

Вот тут товарищи из Еревана тоже утверждают, что решение Тауба - поле бесконечного плоского слоя.

[Someone]

apv в сообщении #674294 писал(а):

Вот тут товарищи из Еревана тоже утверждают, что решение Тауба - поле бесконечного плоского слоя.

Вы как-то плохо прочитали эту статью. Они рассматривают оба варианта. И делают следующий вывод:

Цитата:

We think that namely this solution (but not Taub solution) is a relativistic analogue of the appropriate solution in the Newton’s theory.

То есть, утверждают они прямо противоположное тому, что приписываете им Вы.
А решение Тауба становится сингулярным на конечном расстоянии от плоскости.

[apv]

Someone в сообщении #674326 писал(а):

То есть, утверждают они прямо противоположное тому, что приписываете им Вы.

Да, извините, у меня две статьи открыто, я видимо их попутал. Эти товарищи (Taub’s plane-symmetric vacuum spacetime revisited) утверждают:

Цитата:

The gravitational properties of the only static plane-symmetric vacuum solution of Einstein’s field equations without cosmological term (Taub’s solution, for brevity) are presented

Сейчас пытаюсь разобраться.

А статью ереванцев, если честно, не понял.

[Someone]

apv в сообщении #674333 писал(а):

Да, извините, у меня две статьи открыто, я видимо их попутал. Эти товарищи (Taub’s plane-symmetric vacuum spacetime revisited) утверждают:

Цитата:

The gravitational properties of the only static plane-symmetric vacuum solution of Einstein’s field equations without cosmological term (Taub’s solution, for brevity) are presented

Ну и что? Здесь написано: "Представлены гравитационные свойства единственного статического плоско-симметричного решения вакуумных уравнений Эйнштейна без космологического члена (для краткости - решение Тауба)".
Пространство-время Минковского - тоже статическое плоско-симметричное решение вакуумных уравнений Эйнштейна без космологического члена. Но его им, видимо, изучать не интересно, поэтому решение Тауба - единственное, которое они в своей статье исследуют.

[apv]

Someone в сообщении #674344 писал(а):

Пространство-время Минковского - тоже статическое плоско-симметричное решение вакуумных уравнений Эйнштейна без космологического члена.

Они об этом упомянули:

Цитата:

Einstein’s vacuum field equations, without cosmological term, for a planesymmetric geometry, will be satisfied by only three distinct single (without any essential constants of integration) solutions[10]: Taub’s static metric, Kasner’s spatially homogeneous, and Minkowski metric.

Someone в сообщении #674344 писал(а):

Но его им, видимо, изучать не интересно, поэтому решение Тауба - единственное, которое они в своей статье исследуют.

Пускай исследуют что хотят, меня решение Тауба интересует постольку, поскольку оно может оказаться решением уравнений Эйнштейна для бесконечнго плоского слоя.

[alcoholist]

Someone в сообщении #674344 писал(а):

Представлены гравитационные свойства единственного статического плоско-симметричного решения вакуумных уравнений Эйнштейна без космологического члена (для краткости - решение Тауба)".

я, конечно, не специалист... но разве тут не имеется ввиду "Мы описываем какие-то свойства только статического плоско-симметричного вакуумного решения, т.е. решения уравнения без космологического члена"?

-- Вс янв 20, 2013 23:53:40 --

все-таки словосочетание "единственное решение" неправильно употреблять вместо "решение, которым мы интересуемся"

[Someone]

Да, Вы правы. Там подразумевается "только". Я же и истолковал свой неудачный перевод в смысле "только".

[Someone]

apv в сообщении #674356 писал(а):

меня решение Тауба интересует постольку, поскольку оно может оказаться решением уравнений Эйнштейна для бесконечнго плоского слоя

А чем Вам не нравится http://dxdy.ru/post541454.html#p541454? По-моему, тоже выглядит убедительно. И ереванцы в http://arxiv.org/abs/gr-qc/0102030 так же думают.

[apv]

Someone в сообщении #674401 писал(а):

А чем Вам не нравится post541454.html#p541454? По-моему, тоже выглядит убедительно. И ереванцы в http://arxiv.org/abs/gr-qc/0102030 так же думают.

Да я не знаю, как тут можно судить в понятиях нравится/не нравиться, я просто хочу разобраться. В своем посте Вы ничего не сказали о тензоре кривизны поля слоя. Судя по всему, Вы придерживаетесь того мнения, что и ереванцы, а именно, тензор кривизны даже для "истинного" поля вне плоскости равен нулю. Я правильно Вас понял?

ереванцы писал(а):

It is conventionally assumed that in the Einstein’s theory the presence of gravitational field in some area is indicated by nonzero Riemannian tensor in this area. However, the analysis of this solution leads to the following conclusion: the metric (12) describes a homogeneous gravitational field of the plate in reference system, fixed with respect to the plate, but for it the Riemannian tensor $R^i_{klm}$ is zero.

Тогда вопрос об отклонии геодезических отпадает. Не будет отклонения. Но остается вопрос с тем, что же за решение получил Богородский, у него кривизна будет.

[apv]

Метрика Богородского

$$ds^2=(1-8gz)^{-1/4}dt^2-(1-8gz)^{1/2}(dx^2+dy^2)-(1-8gz)^{-5/4}dz^2$$

имеет "истинную" сингулярность при $z=\frac{1}{8g}$, некоторые ненулевые компоненты тензора кривизны становятся бесконечными.
У меня получились такие ненулевые компоненты тензора кривизны:

$$R^0_{101}=R^0_{202}=\frac{2g^2}{\sqrt{1-8gz}}$$

$$R^0_{303}=-\frac{8g^2}{\left(1-8gz\right)^{9/4}}$$

$$R^1_{313}=R^2_{323}=-\frac{2g^2}{\left(1-8gz\right)^{3/2}}$$

$$R^1_{212}=4g^2{\left(1-8gz\right)^{1/4}}$$

Немножко не те, что у самого Богородского.
Если рассмотреть вертикальные движения в такой метрике ($dx=0,dy=0$), то световые конусы $\frac{dr}{dt}=\left(1-8gz\right)^{1/2}$ на самой сингулярности вырождаються в линии. Растояние до сингулярности получаеся бесконечным $\int _{0}^{1/{8g}} \! \left( 1-8\,gz \right) ^{-5/4}{dz} = \infty$.
Если движутся частицы с одинаковыми $x$ и $y$, но разными $z$, то отклонения геодезических не будет, т.к. компоненты кривизны $R^3_{ijk}=0$. Но если у частиц разные $x$ и $y$, то геодезические отклоняются в плоскости $xOy$, это весьма странно, т.к., по идее, они должны двигаться строго вверх .

[Munin]

Если объём сферы меняется при свободном падении, значит, ТЭИ материи не равен нулю (это Пенроуз, в "Путь к реальности"). Так что сказанное вами наводит на подозрения.

[Someone]

apv в сообщении #674772 писал(а):

Растояние до сингулярности получаеся бесконечным $\int _{0}^{1/{8g}} \! \left( 1-8\,gz \right) ^{-5/4}{dz} = \infty$.

Вы забыли квадратный корень извлечь.

apv в сообщении #674408 писал(а):

Да я не знаю, как тут можно судить в понятиях нравится/не нравиться

Ну, меня, естественно, интересовали не Ваши эмоции. Я имел в виду, что Вы перечислите свойства решения, которые Вам кажутся неприемлемыми для гравитационного поля массивной плоскости.

apv в сообщении #674408 писал(а):

Судя по всему, Вы придерживаетесь того мнения, что и ереванцы, а именно, тензор кривизны даже для "истинного" поля вне плоскости равен нулю. Я правильно Вас понял?

Нет. Я не знаю, какой из двух вариантов правильный. И заниматься соответствующими исследованиями мне сейчас некогда.

Мне кажется, можно было бы взять поле плоского "блина" конечных размеров и посмотреть, какой у него будет предел, когда размеры "блина" соответствующим образом растут. Только я не встречал точного решения для "блина".

[Munin]

Someone в сообщении #674912 писал(а):

Только я не встречал точного решения для "блина".

Можно взять не точное, а представить блин малой массы, и раскладывать поле в ряд по линейному приближению ОТО, первому нелинейному, и так далее.