Элементарных доказательств ВТФ нет и не может быть

[bot]

Someone писал(а):

Это?

Не совсем, то было года 2 или 3 назад, но аффтара угадал бы, даже если бы его не назвали.

Yarkin писал(а):

K Вам у меня тот же вопрос: ействительные числа векторы или скаляры. bot ответил "горшками", а Вы?

А что Вы имеете против горшков?

Someone писал(а):

Бесконечномерные векторы над полем рациональных чисел.

Расшифрую для Yarkin'а, а то ещё усмотрит разногласия в наших рядах - этот горшок в числе пригодных для варки в определённых условиях я называл: берём поле действительных чисел в качестве произвольного поля и рассматриваем его как линейное пространство на своим подполем, полагая последнее полем рациональных чисел.

[Yarkin]

Someone писал(а):

Не понял, какое отношение данное изменение условий ВТФ, делающее её неверной, имеет к теореме Пифагора?

Уравнение $ x^2 + y^2 = z^2 $ стало бы частным случаем ТФ и доказать, что оно имеет решение в целых числах было бы также трудно, как и ТФ.

Someone писал(а):

Бесконечномерные векторы над полем рациональных чисел.

Впервые получаю такой ответ. Только почему они бесконечномерные?
А рациональные числа - не векторы?






§22. Первая трехмерная модель чисел.

Трехмерные модели чисел получаться из формулы (17), когда равны нулю все коэффициенты при единичных векторах, кроме каких либо трех. Основные из этих моделей могут иметь вид:

$$ w = x + i_{\mu} y_{\mu} + j_{\eta} z_\eta, (\mu, \eta = 2, 3, …), w = x + i_\mu y_\mu + i_\nu y_\nu, w = x + j_{\mu} z_{\mu} + j_{nu} z_\nu, (\mu, \eta = 2, 3,…, \mu \ne \eta), \eqno (27) $$

Очевидно, здесь также, модели, определяемые тремя одноименными буквами, будут относиться к редко используемым, а потому мы их здесь не выписываем. Кроме этих канонических моделей, трехмерные модели чисел могут иметь неканонический вид, например:

$$ w = x + k_{\mu\eta}u_{\mu\eta} + j_{\mu}z_\mu, k_{\mu\eta} = i_\muj_\eta $$

При $ \mu = \etai =2 $ и $ x, y_2, z_2 $ отличных от нуля, опуская индексы, получим из формулы (17):

$$ w = x + iy + jz, i = \sqrt{-1}, j = \sqrt{1}, \eqno (28) $$

Каноническую модель чисел, которую будем изображать в трехмерном пространстве с действительной осью $ x $ и двумя меточными осями $ y $ и $ z $ вектором, исходящим из начала координат и концом в точке $ (x; y; z) $. Эту модель мы будем называть основной или первой трехмерной моделью. Она может принимать неканонический вид

$$ w = x + iy + jz + ku, (k = ij = ji), \eqno (29) $$

В определении (28) $ x, y, z $ – действительные модели чисел, $ i, j $ – единичные меточные векторы; при этом для трехмерных моделей$ w_1 = x_1 + iy_1 + jz_1 $
и $ w_2 = x_2 + iy_2 + jz_2 $ введены понятия равенства, арифметические и векторные операции по следующим правилам:
1) $ w_1 = w_2 $ тогда и только тогда, когда $ x_1 = x_2, y_1 = y_2 $ и $ z_1 = z_2; 1i = i1 = i, 1j = j1 = j, ij = ji = k; x + iy + j0 = x + iy, x + i0 + jz = x + jz, 0 + iy + jz = iy + jz $.
2) $ w_1 \pm w_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2) + j(z_1 \pm z_2) $.
3) $ w_1w_2 =(x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + z_{1}z_2) + i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}) + j(x_{1}z_{2} + x_{2}z_1) + k(y_{1}z_{2} + y_{2}z_1) $.
4) $ \frac{w_1}{w_2} = \frac{s_{1}s_{2} - v_{1}v_{2}}{s^2_2 + v^2_2} + i\frac{t_{1}s_{2} + u_{1}v_2}{s^2_2 + v^2_2} + j\frac{u_{1}s_{2} - t_{1}v_2}{s^2_2 + v^2_2} + k\frac{s_1v_2 + v_1s_2}{s^2_2 + v^2_2}, s^2_2 + v^2_2 \ne 0 $,
где $ s_1 = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} - z_{1}z_{2}, t_1 = x_{2}y_{1} - x_{1}y_2, u_1 = x_{2}z_{1} - x_{1}z_2, v_1 = - y_{1}z_{2} - y_{2}z_{1}, s_2 = x^2_2 + y^2_2 - z^2_2, v_2 = 2y_2z_2 $.
5) $ (w_1w_2) = |w_1||w_2|\cos\varphi $, или $ (w_1w_2) = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2} $.
6)

$$ [w_1w_2] = \begin{vmatrix} 1 & i & j\\ x_1& y_1 & z_1 \\ x_2& y_2 & z_2 \end{vmatrix} $$

.
При этом $ [1i] = -[i1] = j, [ij] = -[ji] = 1, [j1] = -[1j] = i $, ,.
7)

$$ (w_1w_2w_3) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} $$

где $ w_3 = x_3 + iy_3 + jz_3 $
Из 1) и 3) следует, что меточные единичные векторы удовлетворяют формулам (28). Из 3) и 4) заключаем, что операции умножения, и деления трехмерных моделей нарушают их каноническую форму.
Таким образом, введенные операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности
$ w_1 + w_2 = w_2 + w_1, w_1w_2 = w_2w_1 $,
Ассоциативности $ (w_1 + w_2) + w_3 = w_1 + (w_2 + w_3), (w_1w_2)w_3 = w_1(w_2w_3) $
и дистрибутивности $ (w_1 + w_2)w_3 = w_1w_3 + w_2w_3 $
Из свойств 1) следует, что множество трехмерных моделей чисел содержит в себе, как часть множество всех одномерных моделей чисел $ x, iy $ и $ jz $, а также множество всех рассмотренных выше двумерных моделей чисел.
Операция деления осуществляется на основе определения единичных меточных векторов. Сначала, осуществляется перевод знаменателя к неканоническому вектору $ k $, (уничтожаются векторы $ i $ и $ j $ путем умножения знаменателя и числителя на трехмерную модель) $ \bar{w} = x_2 – (iy_2 + jz_2) $.
Вторым умножением числителя и знаменателя на модель, сопряженную (относительно вектора $ k $ знаменателю уничтожается вектор $ k $.
Операцию деления можно определить, как операцию, обратную операции умножения. Пусть, при $ w_2\ne 0 $, имеем

$$ w = \frac{w_1}{w_2} = u + iv +js + kt $$

Тогда $ w_1 = w_2w $
Подставляя сюда выражения $ w_1, w_2 $ , и $ w_3 $, получим

$$ x_1 + iy_{1} + jz_1 = (x_{2} + iy_{2} + jz_2)(u + iv + js + kt) $$

Производя умножение, получим, приравнивая коэффициенты при соответствующих единичных векторах систему линейных уравнений для определения неизвестных $ u, v, s $ и $ t $.

$$ x_2u - y_2v + z_2 s + 0t = x_1 y_2u + x_2v + 0s + z_2t =y_1 z_2u + 0v + x_2s - y_2t = z_1 0u + z_2v + y_2s + x_2t = 0 $$

Определитель системы

$$ \Delta = (x^2_2 + y^2_2 + z^2_2)^2 - 4x^2_2z^2_2 > 0 $$

следовательно, система имеет единственное решение. Числители неизвестных, также, совпадут с соответствующими числителями, приведенными в пункте 6). При практических вычислениях, лучше применять первый метод деления трехмерных моделей.
Пример. Пусть $ w_1 = 2 + i -3j, w_2 = 1 – 4i + 5j, w_3 = - 6 + 8i + j $, тогда $ w_1 + w_2 = 3 - 3i + 2j, w_1 - w_2 = 1 + 5i - 8j; w_1w_2 = (2 + i - 3j)(1 - 4i + 5j) = - 9 - 7i + 7j + 17k; $

$$ \frac{w_1}{w_2} = \frac{2 + i - 3j}{1 - 4i + 5j} = - \frac 792 1664 + i\frac 448 1664 + j\frac 464 1664 - k\frac 424 1664 $$

;

$$ (w_1w_2) = -17 $$

;

$$ [w_1w_2] = \begin{vmatrix} 1 & i_1 & j\\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -4 & 5 \end{vmatrix} = - 7 - 13i - 9j $$

;

$$ (w_1w_2w_3) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & - 3\\ 1 & -4 & 5 \\ -6 & 8 & 1 \end{vmatrix} = 71 $$

Скалярная величина

$$ |w| = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} = \rho $$

.
называется модулем трехмерной модели или длиной вектора $ w $. Если $ \alpha, \beta $ и $ \gamma $ - углы, образуемые вектором $ w $ соответственно с осями $ x, y $ и $ z $, то

$$ x = \rho \cos \alpha, y = \rho \cos \beta, z = \rho \cos \gamma $$

.
Подставляя эти выражения в соотношение (29), получим тригонометрическую форму трехмерной модели

$$ w = \rho(\cos \alpha + i \cos \beta + j\cos\gamma) $$

.

[bot]

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Бесконечномерные векторы над полем рациональных чисел.

Впервые получаю такой ответ. Только почему они бесконечномерные?
А рациональные числа - не векторы?

Сколько не объясняй простому крестьянину принцип действия двигателя внутренного сгорания, он всё равно оглобли искать будет!

Добавлено спустя 8 минут 56 секунд:

bot писал(а):

Расшифрую для Yarkin'а, а то ещё усмотрит разногласия в наших рядах

Я был прав.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

Операция деления осуществляется на основе определения единичных меточных векторов. Сначала, осуществляется перевод знаменателя к неканоническому вектору $ k $, (уничтожаются векторы $ i $ и $ j $ путем умножения знаменателя и числителя на трехмерную модель) $ \bar{w} = x_2 - (iy_2 + jz_2) $.

Не будет ли так любезен многоуважаемый джинн поделить $1$ на $1+j$?

[Someone]

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Бесконечномерные векторы над полем рациональных чисел.

Впервые получаю такой ответ.

А почему это Вас удивляет?

Yarkin писал(а):

Только почему они бесконечномерные?

Определение базиса и размерности векторного пространства знаете? Вот и посмотрите, какой там базис.

Yarkin писал(а):

А рациональные числа - не векторы?

Рациональные числа образуют подмножество в множестве действительных чисел. Поэтому они такие же векторы, как и все прочие действительные числа. Правда, все лежат в одном одномерном подпространстве.

[Yarkin]

bot писал(а):

Я спрашивал, а Вы не ответили - представимо ли произвольное действительное число в виде ?

Я бы не стал задавать этот глупый на первый взгляд вопрос, однако это Вы меня вынуждаете к этому своими представлениями о действительных числах, согласно которым следует различать сущности и запахи, такие как и .

При $ b=0, c=0 $, мы получаем одномерные модели (действительнве числа)

Добавлено спустя 17 минут 33 секунды:

Yarkin писал(а):

Рациональные числа образуют подмножество в множестве действительных чисел. Поэтому они такие же векторы, как и все прочие действительные числа. Правда, все лежат в одном одномерном подпространстве.

Дело в том, что математики, которым я задавал этот вопрос либо отвечали скаляры, либо уходили от прямого ответа. Я самостоятельно пришел к выводу, как Вы это поняли, что то, что мы в обыденной жизни называем числами, фактически являются векторами (моделями). У Куроша есть пример произведения двух невырожденных матриц, равных нуль матрице.
Из Вашего ответа следует, что число материальность не потеряло - ее потеряли математики!

bot писал(а):

Сколько не объясняй простому крестьянину принцип действия двигателя внутренного сгорания, он всё равно оглобли искать будет!

Согласен.

Добавлено спустя 14 минут 58 секунд:

tolstopuz писал(а):

Не будет ли так любезен многоуважаемый джинн поделить на ?

Невозможно. Скорее всего, такие модели тоже будут необходимы.

[Brukvalub]

Yarkin писал(а):

У Куроша есть пример произведения двух невырожденных матриц, равных нуль матрице.

Дальнейшее обсуждение я веду для матриц с элементами из поля вещественных или комплексных чисел (или из коммутативного кольца без делителей нуля)
1. Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
2. Теорема (верная!) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
3. Определитель нулевой матрицы равен нулю (очевидно).
Вывод: Вы нашли у Куроша пример с матрицами, элементы которых взяты не из названных мной выше алгебраических структур. Перерыл все книги Куроша, но такого примера не нашел??? Где же этот пример у Куроша написан?

[tolstopuz]

Brukvalub писал(а):

Yarkin писал(а):

У Куроша есть пример произведения двух невырожденных матриц, равных нуль матрице.

1. Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Боюсь, что проблема именно в понимании этого определения

Добавлено спустя 3 минуты:

Yarkin писал(а):

Я самостоятельно пришел к выводу, как Вы это поняли, что то, что мы в обыденной жизни называем числами, фактически являются векторами (моделями).

Можете ли вы назвать два ненулевых числа, взятых из обыденной жизни, произведение которых равно нулю?

[Yarkin]

tolstopuz писал(а):

Brukvalub писал(а):Yarkin писал(а):У Куроша есть пример произведения двух невырожденных матриц, равных нуль матрице. 1. Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.Боюсь, что проблема именно в понимании этого определения

Вы оба правы. Это я слово "не нулевых" заменил на "невырожденные". См. А. Г. Курош Лекции по общей алгебре с. 41. Такие объекты обладают делителями нуля.

tolstopuz писал(а):

Можете ли вы назвать два ненулевых числа, взятых из обыденной жизни, произведение которых равно нулю?

Разумеется, не могу. Но это не значит, что в теории чисел все закончено и что таких примеров не надо строить. Абстрактные модели, в отличие от чисел могут быть с самыми не предсказуемыми свойствами, как наш реальный мир. Действия над моделями (испытания) также могут быть такие, которые еще не описаны в математике.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

tolstopuz писал(а):

Можете ли вы назвать два ненулевых числа, взятых из обыденной жизни, произведение которых равно нулю?

Разумеется, не могу.

Вот и славно. Вы сами показали ложность вашего утверждения:

Yarkin писал(а):

Я самостоятельно пришел к выводу, как Вы это поняли, что то, что мы в обыденной жизни называем числами, фактически являются векторами (моделями).

Два ненулевых числа при умножении не могут дать ноль, а две "модели" - могут. Значит, числа не являются "моделями".

[Yarkin]

tolstopuz писал(а):

Yarkin писал(а):

tolstopuz писал(а):

Можете ли вы назвать два ненулевых числа, взятых из обыденной жизни, произведение которых равно нулю?

Разумеется, не могу.

Вот и славно. Вы сами показали ложность вашего утверждения:

Yarkin писал(а):

Я самостоятельно пришел к выводу, как Вы это поняли, что то, что мы в обыденной жизни называем числами, фактически являются векторами (моделями).

Два ненулевых числа при умножении не могут дать ноль, а две "модели" - могут. Значит, числа не являются "моделями".

Произведение двух, отличных от нуля одномерных моделей не равно нулю.Это свойство обнаружено у второй двумерной модели. Именно эти модели обладают делителями нуля. Ведь от того, что произведение двух не нулевых матриц может быть равно нулю, они не выкинуты из математики. Матрицы обладают делителями нуля.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

Произведение двух, отличных от нуля одномерных моделей не равно нулю.

А сколькимерными "моделями", по вашему мнению, является "то, что мы в обыденной жизни называем числами"?

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

Примеры. Решить уравнения: $ 1) x^2 +6x +9=0; 2) x^2-5x +6=0; 3) x^2 -2x +10=0; 4) x^2 +16=0; 5) x^2-25=0 $.
Решение. По формулам (20) и (21) получим: 1) $ D = 0 $, следовательно, $ x_1 = x_2 = (-1)3 $.
2) $ D=(5^2-24)=1, x_1 = \frac 5 2 - \frac j 2, x_2 = \frac 5 2 + \frac j 2 $, но $ x_1 \ne 2, x_2 \ne 3 $, хотя они тоже являются корнями этого уравнения. Никакого противоречия с теорией здесь нет. Эти корни не отражают фактический состав, а потому их надо отбросить. Существующая теория не могла этого предусмотреть. Возможны и другие взгляды на это обстоятельство.
3) $ D= 2^2 - 40=(-1) 36, x_1 = 1-3i, x_2=1+3i. 4) x_1 = -4i, x_2 = 4i. 5) x_1 = -5j, x_2 = 5j $.

А я наконец-то понял, чем вы все это время пудрите нам мозги.

У вас косые оси, они только все запутывают. Введем вместо осей $1$ и $j$ оси $u=\frac{1+j}{2}$ и $v=\frac{1-j}{2}$. Тогда $u^2=u$, $v^2=v$ и $uv=0$ - по сравнению с исходными соотношениями просто благодать. Обратное преобразование, если интересно, записывается как $1=u+v$, $j=u-v$.

То есть любая ваша "трехмерная" (на самом деле, конечно же, четырехмерная) "модель" $x+yj$ ($x,y\in\mathbb{C}$) в новых осях записывается как $(x+y)u+(x-y)v$ - сумма двух независимых половинок.

Рассмотрим для примера ваш номер 3:

$$x^2-2x+10=0$$

$$(au+bv)^2-2(u+v)(au+bv)+10(u+v)=0$$

Дальше, используя соотношения между $u$ и $v$, делим уравнение на две независимые половины:

$$\left\{\begin{array}{l}a^2-2a+10=0\\b^2-2b+10=0\end{array}\right$$

Из чего находим

$$\left\{\begin{array}{l}a=1 \pm 3i\\b=1\pm 3i\end{array}\right$$

$$x=(1\pm3i)u+(1\pm3i)v$$

(допустимы все комбинации знаков)

Осталось только перевести оси обратно и получить все четыре корня:

$$\{1+3i,1-3i,1+3ij,1-3ij\}$$

Такое представление ваших "моделей" полностью объясняет их структуру и позволяет решать любые уравнения, а не только тривиальные, которые демонстрировали вы. В частности, элементарно можно ответить на вопрос, сколько корней может иметь квадратное уравнение в зависимости от коэффициентов. Или какие у вас делители нуля.

А заодно это представление показывает, что никакой научной новизны в вашей статье нет - под видом "трехмерных моделей" вы подсунули нам просто обычные пары комплексных чисел с почленными операциями, только с повернутыми осями. Как это низко.

[Yarkin]

§23. Вторая трехмерная модель чисел.

Определим двумерную модель чисел в виде

$$ w = x +jy, \eqno (30) $$

где $ x, у $ – действительные модели чисел,

$$ j = \sqrt{i}, j^2 = i, j^3 = ij = ji = k, j^4 = kj =jk = -1, \eqno (31) $$

Оставаясь в области этой модели, можно проводить операции сложения, вычитания и умножения на первую одномерную модель. Операции умножения и деления, могут переводить эту модель либо в первую двумерную, либо в трехмерную. Эта модель, в отличие от второй двумерной модели не содержит делителей нуля.
Вектор $ \bar w = x - jу $ называется сопряженным к вектору $ w $, так, что $ w \bar w = x^2 – iy^2 $.
Если бы в (31) мы приняли $ j = \sqrt{-i} $, то мы получили бы $ w \bar w = x^2 + iy^2 $.
В комбинации с первой двумерной моделью, определим вторую трехмерную модель. При $ \mu = 2 $ и $ \mu = 4 $, а также $ x, y, z $ отличных от нуля, получим из формулы (17):

$$ w = x + iy + jz, i = \sqrt{-1}, j = \sqrt[4]{-1}, eqno (32) $$

каноническую модель чисел, которую будем изображать в трехмерном пространстве с действительной осью $ x $ и двумя меточными осями $ y $ и $ z $ вектором, исходящим из начала координат и концом в точке $ (x; y; z) $. Эту модель мы будем называть второй трехмерной моделью. Она может принимать неканонический вид (29). Для $ j = \sqrt{-i} $, мы получили бы параллельную трехмерную модель.
В определении (30) $ x, y, z $ – действительные модели чисел, $ i, j $ – единичные меточные векторы; при этом для трехмерных моделей$ w_1 = x_1 + iy_1 + jz_1 $
и $ w_2 = x_2 + iy_2 + jz_2 $ введены понятия равенства, арифметические и векторные операции по следующим правилам:
1) $ w_1 = w_2 $ тогда и только тогда, когда $ x_1 = x_2, y_1 = y_2 $ и $ z_1 = z_2; 1i = i1 = i, 1j = j1 = j, ij = ji = k; x + iy + j0 = x + iy, x + i0 + jz = x + jz, 0 + iy + jz = iy + jz $.
2) $ w_1 \pm w_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2) + j(z_1 \pm z_2) $.
3) $ w_1w_2 =(x_1x_2 – y_1y_2 ) + i(x_1y_2 + x_2y_1 + z_1z_2) + j(x_1z_2 + x_2z_1) + k(y_1z_2 + y_2z_1) $.
4) $ \frac{w_1}{w_2} = \frac{s_1s_5 + s_2s_6}{s^2_5 + s^2_6} + i\frac{s_5s_2 - s_1s_6}{s^2_5 + s^2_6} +j\frac{s_3s_5 – s_4s_6}{s^2_5 + s^2_6} + k\frac{s_4s_5 - s_3s_6}{s^2_5 + s^2_6}, s^2_5 + s^2_6 \ne 0 $,
где $ s_1 = x_1x_2 - y_1y_2, s_2 = x_2y_1 + x_1y_2 – z_1z_2, s_3 = x_2z_1 – x_1z_2, s_4 = -y_1z_2 + y_2z_1, s_5 = x^2_2 - y^2_2 , s_6 = 2x_2y_2 – z^2_2 $.
1) $ (w_1w_2) = |w_1||w_2|\cos\varphi $, или $ (w_1w_2) = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 $.
6)

$$ [w_1w_2] = \begin{vmatrix} 1 & i & j\\ x_1& y_1 & z_1 \\ x_2& y_2 & z_2 \end{vmatrix} $$

.
При этом $ [1i] = -[i1] = j, [ij] = -[ji] = 1, [j1] = -[1j] = i $;
7)

$$ (w_1w_2w_3) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} $$

где $ w_3 = x_3 + iy_3 + jz_3 $
Из 1) и 3) следует, что меточные единичные векторы удовлетворяют формулам (28). Из 3) и 4) заключаем, что операции умножения, и деления трехмерных моделей нарушают их каноническую форму.
Таким образом, введенные операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности
$ w_1 + w_2 = w_2 + w_1, w_1w_2 = w_2w_1 $,
Ассоциативности $ (w_1 + w_2) + w_3 = w_1 + (w_2 + w_3), (w_1w_2)w_3 = w_1(w_2w_3) $
и дистрибутивности $ (w_1 + w_2)w_3 = w_1w_3 + w_2w_3 $
Из свойств 1) следует, что множество трехмерных моделей чисел содержит в себе, как часть множество всех одномерных моделей чисел $ x, iy $ и $ jz $, а также часть множества двумерных моделей чисел, рассмотренных выше.
Операция деления осуществляется на основе определения единичных меточных векторов. Сначала, осуществляется перевод знаменателя к первой двумерной модели путем умножения уничтожаtтся вектор $ j $ [/math Вторым умножением числителя и знаменателя на модель, сопряженную относительно вектора [math] $ i $ уничтожается вектор $ i $.
Операцию деления можно определить, как операцию, обратную операции умножения, как это было сделано для первой трехмерной модели.
Совершенно аналогично можно рассмотреть другие трехмерные модели, с различными свойствами, зависящих от входящих в них единичных векторов. Для всех трехмерных моделей, операции умножения и деления приводят их к неканоническому виду (к четырехмерным моделям). Это свойство является естественным. Однако, можно построить и такие модели, для которых эти операции могут переводить их в модели более высокого порядка.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

$$ j = \sqrt{i}, j^2 = i, j^3 = ij = ji = k, j^4 = kj =jk = -1, \eqno (31) $$

В комбинации с первой двумерной моделью, определим вторую трехмерную модель. При $ \mu = 2 $ и $ \mu = 4 $, а также $ x, y, z $ отличных от нуля, получим из формулы (17):

$$ w = x + iy + jz, i = \sqrt{-1}, j = \sqrt[4]{-1}, \eqno (32) $$

И у вас опять появляются делители нуля:

$$(1+i+j\sqrt 2)(1+i-j\sqrt 2)=0$$

Более того, вы опять не открыли ничего нового, и ваша новая "модель" опять изоморфна парам комплексных чисел с почленными операциями:

$$1=u+v$$

$$i=i(u+v)$$

$$j=\frac{1+i}{\sqrt 2}(u-v)$$

$$ij=\frac{-1+i}{\sqrt 2}(u-v)$$

где опять $u^2=u, v^2=v, uv=0$.

Справедливость своих соотношений можете проверить самостоятельно.