Пирамида и шары

[rewoger]

Дана правильная пирамида, все ребра которой равны 2R. В каждой вершине находится шар радиусом R. Найти отношения объема части пирамиды, не пренадлежащей ни одному из шаров к объему всей пирамиды.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: обычная задача по стереометрии

Rewoger, обратите внимание, что формулы на форуме записываются ТеХом. Инструкции здесь или здесь (или в этом видеоролике). В случае неиспользования ТеХа темы переносятся в Карантин

[rewoger]

Забыл указать, что пирамида треугольная.

[мат-ламер]

rewoger в сообщении #669736 писал(а):

Забыл указать, что пирамида треугольная.

В смысле тетраэдр? Интересно, можно ли несколько тетраэдров сложить так, чтобы они имели одну общую точку и составляли какое-нибудь правильное тело, например, икосаэдр? (Подразумевается, что в некоторой окрестности этой общей точки все точки принадлежат этому икосаэдру.)

[Xey]

rewoger в сообщении #669625 писал(а):

Найти отношения объема части пирамиды, не пренадлежащей ни одному из шаров к объему всей пирамиды.

Может через плотность упаковки , считать вообще бы не надо, в иначе..

[gris]

А рассмотрите двумерный случай с правильным треугольниким и кругами.

[Yu_K]

$\arccos{\frac{23}{27}}$ - телесный угол при вершине тетраэдра - отсюда все легко находится.

[Yu_K]

Только вот вопрос - находятся в одинаковой пропорции объемы "секторов шаровых" (конус с основанием сферической формы) и площадей их сферического основания к целым частям? Надо проверить.

[Батороев]

мат-ламер в сообщении #669745 писал(а):

Интересно, можно ли несколько тетраэдров сложить так, чтобы они имели одну общую точку и составляли какое-нибудь правильное тело, например, икосаэдр? (Подразумевается, что в некоторой окрестности этой общей точки все точки принадлежат этому икосаэдру.)

Вряд ли. По крайней мере, целочисленности отношения объемов правильных многоугольников (за исключением октаэдра) к объему тетраэдра не наблюдается. Октаэдр составить из четырех тетраэдров тоже не получится.

-- 11 янв 2013 13:44 --

Yu_K в сообщении #670104 писал(а):

Только вот вопрос - находятся в одинаковой пропорции объемы "секторов шаровых" (конус с основанием сферической формы) и площадей их сферического основания к целым частям? Надо проверить.

Не вижу ни одной причины, почему это не так.

[INGELRII]

Способ получения ответа, конечно, сильно зависит от условий, какими формулами пользоваться можно, а какими нельзя.

Прежде всего найдите объем этого тетраэдра до того момента, как из него начали вырезать куски. Затем обратите внимание: пересекаются ли между собой все эти сферические сектора, которые мы вырезаем из тетраэдра? Ну и, учитывая, что тетраэдр правильный, наша жизнь вообще превращается в сказку! Это значит, что объемы всех секторов равны друг другу. Осталось только найти хоть один, и умножить на четыре - вот и будет общий объем тех кусков, что из пирамиды вышвыриваются.

Самая прелесть в том, как искать вот этот самый объем сферического сектора при вершине. Если формулы сферической геометрии использовать запрещено. то у меня даже и идей-то нету. А вот если можно... Объем сектора прямо пропорционален площади поверхности сферы, которую он отсекает. То есть вычисляем эту площадь $S$, делим ее на площадь всей сферы радиуса $R$ и умножаем на объем шара радиуса $R$. Все, что нам осталось - это найти $S$. Оно равняется $R^2$ умножить на $\Sigma - \pi$, где $\Sigma$ - это сумма всех углов сферического треугольника. Треугольник у нас "правильный", все три угла в нем равны. И каждый угол равен углу между гранями исходного тетраэдра!

Как найти этот угол, надеюсь, сообразите сами. Я сегодня и так сверх меры многословен. Вот ведь, в голове у меня все это было просто и понятно, а как попытался напечатать это буковками, так получилось нечто такое...

[Xey]

При гексагональной упаковке шаров , объем заполнен такими пирамидами. При этом шары занимают 74.05 % объема . 25.95 объема свободно.
Ответ должен быть 25.95 / 74.05

[ИСН]

Xey в сообщении #670190 писал(а):

При гексагональной упаковке шаров , объем заполнен такими пирамидами.

Весь?