Самостоятельное Обучение по программе МГУ

[nnosipov]

ex-math в сообщении #669372 писал(а):

"Общее" -- да. Но в конкретных задачах это скорее минус.

Соглашусь. Вот совершенно не понимаю, чем эти навороты с фильтрами помогут, например, в вопросе о существовании предела последовательности $(\cos{n})^n$ (это как пример конкретной и более-менее содержательной задачи, которую можно предлагать первокурсникам при изучении пределов).

-- Ср янв 09, 2013 23:08:52 --

apriv в сообщении #669373 писал(а):

Изучение там интеграла Римана и ручное вычисление десятков интегралов иначе как архаизмом назвать сложно.

Этим просто не надо злоупотреблять. Знакомство с интегралом Римана полезно хотя бы тем, что неявно содержит в себе конструкцию квадратурной суммы, позволяющей вычислять интегралы приближённо. А уж это-то нужно точно.

[Chernoknizhnik]

nnosipov в сообщении #669378 писал(а):

ex-math в сообщении #669372 писал(а):

"Общее" -- да. Но в конкретных задачах это скорее минус.

Соглашусь. Вот совершенно не понимаю, чем эти навороты с фильтрами помогут, например, в вопросе о существовании предела последовательности $(\cos{n})^n$ (это как пример конкретной и более-менее содержательной задачи, которую можно предлагать первокурсникам при изучении пределов).

Фильтры и т.п. - это не "навороты" и не "абстракция на пустом месте". Тем не менее, вряд ли они помогут вычислить какой бы то ни было предел. Но эти понятия дают возможность сформулировать другие критерии сходимости и доказать их эквивалентность "классике". Например, можно доказать, что отображение $f:X\rightarrow Y$ непрерывно если и только если для всякого подмножества $A\subset X$ выполнялось включение $f(ClA)\subset Clf(A)$. Например здесь полезно использовать сходимость баз фильтров.

[ex-math]

Согласен, преподнесение может быть неудачным. Но все же именно определение Коши приводит к пониманию сущности предела, а абстрактное изложение может быть более стройным, но даст только иллюзию понимания. И то, что это именно иллюзия, рано или поздно даст о себе знать. Поэтому доля "историзма" необходима -- общие подходы вводятся именно как обобщения только после того, как прочно усвоены базовые, классические случаи. То же относится к интегралу Римана.

По поводу содержательных задач совершенно с Вами согласен. Но мне казалось, что в МГУ им отводится довольно много времени и, в общем, найден неплохой баланс между "техникой" и "фантазией".

Как ни странно это может показаться алгебраистам (для них общность -- благо) есть области математики (например аналитическая теория чисел, теория специальных функций), результаты в которых в значительной степени достигаются именно кропотливым анализом (теми самыми пределами и интегралами Римана). Здесь общность вредна, так как абстрактный подход мешает увидеть нюансы конкретной задачи.

[apriv]

nnosipov в сообщении #669378 писал(а):

Знакомство с интегралом Римана полезно хотя бы тем, что неявно содержит в себе конструкцию квадратурной суммы, позволяющей вычислять интегралы приближённо. А уж это-то нужно точно.

Я не уверен, что профессиональным математикам необходимо знание подобных методов приближенных вычислений интегралов (в отличие от профессиональных разработчиков систем компьютерных вычислений).

[Chernoknizhnik]

ex-math в сообщении #669385 писал(а):

Как ни странно это может показаться алгебраистам (для них общность -- благо) есть области математики (например аналитическая теория чисел, теория специальных функций), результаты в которых в значительной степени достигаются именно кропотливым анализом (теми самыми пределами и интегралами Римана). Здесь общность вредна, так как абстрактный подход мешает увидеть нюансы конкретной задачи.

Увы, с этими областями я пока не знаком, но уверен, что и алгебраические абстракции там далеко не вредны.

[nnosipov]

apriv в сообщении #669387 писал(а):

Я не уверен, что профессиональным математикам необходимо знание подобных методов приближенных вычислений интегралов

Ну, не уверены --- и ладно, что же с этим поделаешь. Возможно, для Вас и вся вычислительная математика --- это и не математика вовсе. Бывают и такие.

[Chernoknizhnik]

Бесспорно, вычислительная математика - это математика. Но необходимо понимать также, что есть наука, а есть приложения науки (слова В.И.Арнольда, между прочим). Поэтому если уж учиться целенаправленно математике, то эту грань необходимо чувствовать и в обучении своем понимать разницу между методами вычислений и их многократным (зачастую слепым) применением.

[apriv]

nnosipov в сообщении #669405 писал(а):

Ну, не уверены --- и ладно, что же с этим поделаешь. Возможно, для Вас и вся вычислительная математика --- это и не математика вовсе. Бывают и такие.

Вычислительная математика — это некоторая узкая область математики (и она все более сужается в силу развития компьютерных технологий). Мы сейчас говорим об общекультурном багаже профессионального математика.

[nnosipov]

Chernoknizhnik в сообщении #669410 писал(а):

... то эту грань необходимо чувствовать и в обучении своем понимать разницу между методами вычислений и их многократным (зачастую слепым) применением

А что, кто-то её не чувствует?

apriv в сообщении #669417 писал(а):

(и она все более сужается в силу развития компьютерных технологий)

Довольно наивное, хотя и распространённое среди неспециалистов представление.

apriv в сообщении #669417 писал(а):

Мы сейчас говорим об общекультурном багаже профессионального математика.

И я о том же. Другое дело, что "общекультурный багаж" --- понятие весьма размытое.

-- Чт янв 10, 2013 01:55:07 --

Chernoknizhnik в сообщении #669289 писал(а):

и "отжорданить" полсотни матриц

Вот забавно, это где Вы такое встречали?

[Sinoid]

А еще много тут: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/education/edu-de.htm. А какова причина именно самостоятельного обучения?

[Chernoknizhnik]

Судя по моим однокурсникам, весьма многие эту грань не чувствуют. Они думают, что кропотливые вычисления и предварительное написание кода на С и есть настоящая математика.
Вы знаете что такое гипербола? Нет, не та, которая высекается на конусе, а та, которая обозначает преувеличение. А в действительности на первом курсе нам приходилось искать жорданову форму в огромных количествах (на занятиях штук пять, а затем на контрольной и зачете) для неприлично больших матриц, что весьма уводит в сторону от сути линейной алгебры и математики в целом. Содержательных алгебраических задач нам почти не предлагали в курсе лин.алгебры - все они подразумевали применение того или иного алгоритма. В итоге, времени не оставалось, а в головах большинства студентов кроме алгоритмов (которые, скорее всего, после экзамена были благополучно забыты) ничего и не осталось. Возможно, это особенность факультета, на котором мне выпала честь обучаться, но эти примеры хотя бы немного показывают лицо нашего математического "образования".

[apriv]

Про жорданову форму не скажу, а вот сто производных и семьдесят (кажется) интегралов действительно нужно было посчитать вручную для получения зачета, когда я учился. В чем смысл этого мероприятия, мне пока что никто не смог объяснить.

[dmitriy11]

Chernoknizhnik в сообщении #669536 писал(а):

А в действительности на первом курсе нам приходилось искать жорданову форму в огромных количествах (на занятиях штук пять, а затем на контрольной и зачете) для неприлично больших матриц, что весьма уводит в сторону от сути линейной алгебры и математики в целом.

да и у меня также, на линейной алгебре занимались только однотипными задачами на решение СЛУ, вычисление определителей, нахождение собственных значений и приведение квадратичных форм к какому-то виду. А учились мы теоретической физике, и собственно, всю нужную алгебру в итоге изучали во время квантовой механики.

[letsgo!]

Всем большое спасибо за опыт!

Меня как раз заботил вопрос по матанализу, т.к наткнулся в инете на тему НМУ вс МехМат.

Для первого семестра остановился на
Алгебра: Винберг, Кострикин, задачник Кострикина.
МатАнализ: Кудрявцев и Демидович Антидемидович.
Геометрия: Клетеник и куча задачников.

Ну вот все же насчет устаревшей программы особо не волнуюсь. Зачем выбирать между сотнями пределов и современным преподаванием. Можно сначала пределы нарешать и потом к современной программе перейти, если желание будет(времени у меня вагон).

Стать профи в математике это для меня смешно, т.к имею представление о своем уровне.

2 Sinoid Очень много причин. Например, местопроживание в глубинке

[nnosipov]

Chernoknizhnik в сообщении #669536 писал(а):

Вы знаете что такое гипербола? Нет, не та, которая высекается на конусе, а та, которая обозначает преувеличение. А в действительности на первом курсе нам приходилось искать жорданову форму в огромных количествах (на занятиях штук пять, а затем на контрольной и зачете) для неприлично больших матриц

Ну, судя по приведённым данным, гипербола --- это на порядок больше, чем было на самом деле. А "неприлично большие матрицы", если иметь в виду стандартные задачники, это матрицы 4-го порядка

Chernoknizhnik в сообщении #669536 писал(а):

Возможно, это особенность факультета, на котором мне выпала честь обучаться, но эти примеры хотя бы немного показывают лицо нашего математического "образования".

Неужели и на мехмате МГУ теперь так учат? Не могу себе представить.