Связность, линейная связность.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668230 писал(а):

Какое отображение? Пространства $X$ и $Y$ Гомеоморфны, если существует непреывное взаимно однозначное $f:X\to Y$, обратное к которому тоже непрерывно. У гомеоморфных пространств все топологические свойства совпадают.

Просто вы попросили подумать почему они не гомеомрофны

xmaister в сообщении #668225 писал(а):

Вообще топология Зарисского и естественная топология прямой даже не гомеоморфны (подумайте, почему?).

Вот я и предположил, что не получится установить биекцию (видимо оказался неправ). Ну если $f$ - биекция, то $f^{-1}$ - тоже биекция или я что-то путаю?

-- Пн янв 07, 2013 07:30:53 --

xmaister в сообщении #668230 писал(а):

Берём 2 точки $x_1,x_2$ из $[0,+\infty)$. Рассмотрим отображение $f: [0,1]\to [0,+\infty)$, такое что $f(x)=x_1+(x_2-x_1)x$. Оно будет ли непрерывным?

Мне кажется, что да. Но если взять точку $f(0)=x_1$, то открытое множество $[0;+\infty)$ содержит эту точку, ровно как и прообраз $0$ содержится в открытом множестве $[0;1]$ и так для любых точек из $[0;1]$

А можно ли сразу сказать, что прообраз открытого множества $[0;+\infty)$, а именно $[0;+\infty)$ является открытым, значит отображение непрерывно?

[greg93]

integral2009 в сообщении #668234 писал(а):

Ну если $f$ - биекция, то $f^{-1}$ - тоже биекция или я что-то путаю?

Это верно.

[integral2009]

greg93 в сообщении #668237 писал(а):

Это верно.

Ок, спс)

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668234 писал(а):

Вот я и предположил, что не получится установить биекцию (видимо оказался неправ). Ну если $f$ - биекция, то $f^{-1}$ - тоже биекция или я что-то путаю?

Нет, тут лучше предполагать, что получится. Тогда $\mathbb{R}$ с топологией Зарисского- хаусдорфово... Надо найти топологический инвариант, которым они отличаются. В данном случае это отделимость.

-- 07.01.2013, 09:43 --

integral2009 в сообщении #668232 писал(а):

xmaister в сообщении #668220 писал(а):
Ничего не понял. Имеется в виду обычное $\mathbb{R}^2$? Здесь советую доказать, что тихоновское произведение $\prod\limits_{s\in S}X_s$- связно, $X_s\ne\varnothing$ тогда и только тогда, когда каждое $X_s$- связно.

Да, именно $\mathbb{R}^2$

Ок, попробую доказать.

1) $\Rightarrow$

Пусть $\prod\limits_{s\in S}X_s$ - связно. Докажем, что каждое $X_s$- связно от противного.

Пусть среди $X_s$ нашлось хотя бы одно несвязное (для определенности пусть будет одно $X_i$)

Тогда $X_i$ представимо в виде $X_i=A\cap B$, где $A$ и $B$ открыты.

Там $X_i=A\cup B$. Идея тут такая. В одну сторону (подумайте в какую) очевидно, т.к. если $f:X\to Y$- непрерывное отображение, $X$- связное пространство и $Y=f(X)$, то $Y$- связное (догадайтесь, почему?). Для доказательства в обратную сторону докажите сперва, что если для каждых двух точек $x_1,x_2\in X$ существует связное подпространство, содержащее 2 эти точки одновременно, то $X$- связно. Тихоновское произведение погуглите... Оно кстати и задает топологию на $\mathbb{R}^n$. Ну а т.к. $\mathbb{R}$- связно, то и тихонсовское произведение $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$- связно.

-- 07.01.2013, 09:46 --

integral2009 в сообщении #668234 писал(а):

А можно ли сразу сказать, что прообраз открытого множества $[0;+\infty)$, а именно $[0;+\infty)$ является открытым, значит отображение непрерывно?

Конечно, ведь все эти определения непрерывности эквивалентны (можете доказать?). Т.е. 2 случая: 1. если $a>x_2$, то полный прообраз $(a,\infty)$- пуст. Если $a\le x_2$, то...

[integral2009]

xmaister в сообщении #668255 писал(а):

Конечно, ведь все эти определения непрерывности эквивалентны (можете доказать?). Т.е. 2 случая: 1. если $a>x_2$, то полный прообраз $(a,\infty)$- пуст. Если $a\le x_2$, то...

Если $a\le x_2$, то прообраз $(a,\infty)$ есть $[0;1]$

Так как и $[0;1]$ открыто, и пустое множество открыто, то отображение непрерывно. А как это доказывается в общем случае?

xmaister в сообщении #668255 писал(а):

Идея тут такая. В одну сторону (подумайте в какую) очевидно, т.к. если $f:X\to Y$- непрерывное отображение, $X$- связное пространство и $Y=f(X)$, то $Y$- связное (догадайтесь, почему?).

В одну сторону (из связности $\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ следует связность $X_\alpha\;\;\;\;\;\forall \alpha\in A$)

Если $X=\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ - связно и отображение $X\to X_{\alpha}\;\;\;\;\;\forall \alpha\in A$ непрерывно, то $X_{\alpha}$ связно, так как образ связного множества при непрерывном отображении — связен (это вы сказали и я нашел в Википедии в свойствах связности, пока что не понял - почему так).

xmaister в сообщении #668255 писал(а):

Для доказательства в обратную сторону докажите сперва, что если для каждых двух точек $x_1,x_2\in X$ существует связное подпространство, содержащее 2 эти точки одновременно, то $X$- связно. Тихоновское произведение погуглите... Оно кстати и задает топологию на $\mathbb{R}^n$. Ну а т.к. $\mathbb{R}$- связно, то и тихонсовское произведение $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$- связно.

В обратную сторону. Из связности всех $X_\alpha$ следует связность $\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}=X$

Для каждых двух точек $x_1,x_2\in X_\alpha\;\;\;\;\forall \alpha\in A$ существует связное подпространство $X_\alpha\supset X$, содержащее эти две точки одновременно. Тогда $X$ связно.

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668558 писал(а):

Если $a\le x_2$, то прообраз $(a,\infty)$ есть $[0;1]$

Найдите явно прообраз, если $a=\frac{x_1+x_2}{2}$.

integral2009 в сообщении #668558 писал(а):

Если $X=\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}$ - связно и отображение $X\to X_{\alpha}\;\;\;\;\;\forall \alpha\in A$ непрерывно, то $X_{\alpha}$ связно, так как образ связного множества при непрерывном отображении — связен (это вы сказали и я нашел в Википедии в свойствах связности, пока что не понял - почему так).

Правильно! Тополгия тихоновского произведения порождается непрерывными проекциями. Теперь давайте предположим, что $f:X\to Y$- непрерывное отображение на и $Y$- не связно, тогда... Подумайте, почему существвено, что $f:X\to Y$- непрерывное отображение на?

integral2009 в сообщении #668558 писал(а):

Для каждых двух точек $x_1,x_2\in X_\alpha\;\;\;\;\forall \alpha\in A$ существует связное подпространство $X_\alpha\supset X$, содержащее эти две точки одновременно. Тогда $X$ связно.

Не спешите. Мы должны для каждых двух точек тихоновского произведения $\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}$, а не из произвольного $X_\alpha$ указать связное подпространство, которое их содержит.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668683 писал(а):

Найдите явно прообраз, если $a=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Если использовать вот это

xmaister в сообщении #668230 писал(а):

Берём 2 точки $x_1,x_2$ из $[0,+\infty)$. Рассмотрим отображение $f: [0,1]\to [0,+\infty)$, такое что $f(x)=x_1+(x_2-x_1)x$. Оно будет ли непрерывным?

То, чтобы получить $f(x_0)=\frac{x_1+x_2}{2}$, нужно взять $x_0=0,5$ в приведенной выше формуле

Тогда прообразом множества $(a;+\infty)\;\;\;\;\;a=\frac{x_1+x_2}{2}$ будет множество $(0,5;1]$

-- Вт янв 08, 2013 05:56:55 --

xmaister в сообщении #668683 писал(а):

Правильно! Топология тихоновского произведения порождается непрерывными проекциями. Теперь давайте предположим, что $f:X\to Y$- непрерывное отображение на и $Y$- не связно, тогда... Подумайте, почему существено, что $f:X\to Y$- непрерывное отображение на?

Если $X$ -- несвязно, то $Y=A\cup B$, где $A$ и $B$ открыты и не пересекаются.

То, используя формулу $f^{-1}\left(A\cup B\right)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$

Получаем, в силу непрерывности -- $f^{-1}(A)$ и $f^{-1}(B)$ -- открыты (прообраз открытого образа - открыт).

Если окажется, что $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)=\varnothing$, то $X$ будет несвязным. Я так полагаю, что именно здесь нужно использовать сюрьективность, но пока что не вижу -- как.

-- Вт янв 08, 2013 06:10:34 --

xmaister в сообщении #668683 писал(а):

Не спешите. Мы должны для каждых двух точек тихоновского произведения $\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}$, а не из произвольного $X_\alpha$ указать связное подпространство, которое их содержит.

Пусть $x_1\in X_{\alpha_i}\;\;\;\;x_2\in X_{\alpha_j}\;\;\;\;\alpha_i, \alpha_j\in A$, то связное подпространство, которое их содержит $X_{\alpha_i}\times X_{\alpha_j}$, но это не похоже на доказательство...

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668686 писал(а):

То, чтобы получить $f(x_0)=\frac{x_1+x_2}{2}$, нужно взять $x_0=0,5$ в приведенной выше формуле

Тогда прообразом множества $(a;+\infty)\;\;\;\;\;a=\frac{x_1+x_2}{2}$ будет множество $(0,5;1]$

Да. Теперь для доказательства Вам надо найти прообраз множества $(a,\infty)$, где $a\le x_2$- произвольное. Если $a\le x_1$, то какой будет прообраз? А если $a\in (x_1,x_2)$?

integral2009 в сообщении #668686 писал(а):

Если окажется, что $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)=\varnothing$, то $X$ будет несвязным. Я так полагаю, что именно здесь нужно использовать сюрьективность, но пока что не вижу -- как.

Здесь как-раз таки сюрективность и всплывает. Рассмотрим тождественное вложение $\mathrm{id}: (0,1)\to (0,1)\cup (2,3)$, где $(0,1)$ и $(0,1)\cup (2,3)$- топологические пространства с индуцированной топологией. Будем иметь, что $\mathrm{id}^{-1}(0,1)\cap (2,3)=\varnothing$, $\mathrm{id}^{-1}((0,1)\cup (2,3))=\mathrm{id}^{-1}((0,1))\cup \mathrm{id}^{-1}((2,3))=(0,1)$. Заметьте, что $\mathrm{id}^{-1}(2,3)=\varnothing$

integral2009 в сообщении #668686 писал(а):

Пусть $x_1\in X_{\alpha_i}\;\;\;\;x_2\in X_{\alpha_j}\;\;\;\;\alpha_i, \alpha_j\in A$, то связное подпространство, которое их содержит $X_{\alpha_i}\times X_{\alpha_j}$, но это не похоже на доказательство...

Давайте тогда по порядку. Пусть у нас есть некоторое множество (возможно, несчетное) $S$ и семейство множеств $\mathcal{A}=\{X_s|s\in S\}$. Что такое прямое произведение множеств $\prod\limits_{s\in S}X_s$?

[integral2009]

xmaister в сообщении #668690 писал(а):

Вам надо найти прообраз множества $(a,\infty)$, где $a\le x_2$- произвольное.

$x_1+(x_2-x_1)x\leqslant x_2$

$x_1-x_2+(x_2-x_1)x\leqslant 0$

$(x-1)(x_2-x_1)\leqslant 0$

Если подразумевать, что $x_2\leqslant x_1$, то прообразом будет только $1$

Если подразумевать, что $x_2\geqslant x_1$, то прообразом будет $[0;1]$

xmaister в сообщении #668690 писал(а):

Если $a\le x_1$, то какой будет прообраз?

$x_1+(x_2-x_1)x\leqslant x_1$

$(x_2-x_1)x\leqslant 0$

Если подразумевать, что $x_2\geqslant x_1$, то прообразом будет только $0$

Если подразумевать, что $x_2\leqslant x_1$, то прообразом будет $[0;1]$

xmaister в сообщении #668690 писал(а):

А если $a\in (x_1,x_2)$?

Если подразумевать, что $x_2\leqslant x_1$, то прообразом будет $(0;1)$

[xmaister]

Вы меня не поняли. Мы взяли 2 различные точки $x_1,x_2\in [0,\infty)$ и положили для определенности $x_1<x_2$. Задали отображение $f:[0,1]\to [0,\infty)$. Теперь доказываем непрерывность: 1. Если $a\ge x_2$, то очевидно, что $f^{-1}(a,\infty)=\varnothing$ 2. $a\in (x_1,x_2)$, тогда $f^{-1}(a,\infty)=\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$ (Почему, понятно?) 3. $a\le x_1$, тогда $f^{-1}(a,\infty)=[0,1]$.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668690 писал(а):

Заметьте, что $\mathrm{id}^{-1}(2,3)=\varnothing$

А почему так?

[xmaister]

Потому что я так определил отображение $\mathrm{id}: (0,1)\to (0,1)\cup (2,3)$. Тождественное вложение означает, что $x\mapsto x$, для всякого $x\in (0,1)$. Теперь воспользуемся определением. Пусть $f:X\to Y$- отображение произвольных множеств $X$ в $Y$ и $A\subset Y$. Тогда по определению $x\in f^{-1}(A)\Leftrightarrow f(x)\in A$. Это условие определяет совокупость элементов, являющееся подмножеством мноежства $X$ и обзываемое полным прообразом $A$.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668693 писал(а):

Вы меня не поняли. Мы взяли 2 различные точки $x_1,x_2\in [0,\infty)$ и положили для определенности $x_1<x_2$. Задали отображение $f:[0,1]\to [0,\infty)$. Теперь доказываем непрерывность: 1. Если $a\ge x_2$, то очевидно, что $f^{-1}(a,\infty)=\varnothing$ 2. $a\in (x_1,x_2)$, тогда $f^{-1}(a,\infty)=\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$ (Почему, понятно?) 3. $a\le x_1$, тогда $f^{-1}(a,\infty)=[0,1]$.

Спасибо, с 1 и 3 понятно.

А вот как вот это получено -- не очень ясно... $f^{-1}(a,\infty)=\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668696 писал(а):

А вот как вот это получено -- не очень ясно... $f^{-1}(a,\infty)=\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$

Опять же, по определению: $x\in f^{-1}(a,\infty)\Leftrightarrow f(x)\in (a,\infty)$. Берём $x\in \left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$, тогда $x=\frac{a-x_1}{x_2-x_1}+\delta,0<\delta<1$. Значит $f(x)=a+f(\delta)>a$, т.е. для всякого $x\in \left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$ $f(x)\in (a,\infty)$. Это значит, что доказано вложение $\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]\subset f^{-1}(a,\infty)$ (По определению $A\subset B\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)$). Обратное вложение попробуйте доказать самостоятельно.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668690 писал(а):

Давайте тогда по порядку. Пусть у нас есть некоторое множество (возможно, несчетное) $S$ и семейство множеств $\mathcal{A}=\{X_s|s\in S\}$. Что такое прямое произведение множеств $\prod\limits_{s\in S}X_s$?

Функция, сопоставляющая каждому элементу $s\in S$ элемент множества $X_s$.