Задача про бутерброд

[sinill57]

Сама задача формулируется довольно легко: есть бутерброд, состоящий из хлеба, сыра и колбасы(по простому дано 3 тела в пространстве). Доказать, что одной плоскостью их можно поделить так, чтоб каждое тело поделилось пополам, т.е. на равные объёмы. Задача явно на непрерывность, существует подобная, но на плоскости и для 2 тел, при этом требуется строгое доказательство самой непрерывности. Бьюсь над ней долго, готов обсуждать.

[longstreet]

В книгах приводится решение этой задачи.

[sinill57]

а можно поинтересоваться в каких именно?..

[longstreet]

Некоторые пояснения есть хотя бы тут:
http://www.etudes.ru/ru/etudes/buterbrod/
Возможно, вам их будет достаточно.


Если хотите более продвинуто, посмотрите теорему Стоуна-Тьюки:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ham_sandwich_theorem

[sinill57]

Спасибо, но в своих поисках читал и то, и то.) проблема в том,что сославшим на теорему Борсука-Улама, меня попросят её доказать. Доказательство для N-мерного случая слишком сложно, а доказательство частного случая для простой 3х-мерной сферы я так и не нашёл

[longstreet]

По-моему, для $n>1$ доказательство нетривиально.

Впрочем, вот тут, среди различных подходов к доказательству теоремы Борсука-Улама, указаны два элементарных подхода:
http://www.math.nus.edu.sg/~matwml/courses/Graduate/MA5209%20Algebraic%20Topology/HamSandwich.pdf
Попробуйте посмотреть

(Оффтоп)

Советую создать новую тему именно про доказательство теоремы Борсука-Улама для $n=3$ и привести места, где испытываете трудности.

[мат-ламер]

sinill57 в сообщении #663710 писал(а):

а можно поинтересоваться в каких именно?..

Стинрод, Чинн. Первые понятия топологии. Пар. 33.

[_Ivana]

sinill57 в сообщении #663678 писал(а):

готов обсуждать

Тогда скажите, почему не устроит рабоче-крестьянское доказательство: у каждого из трех тел существует и однозначно определяется по известной формуле точка центра масс. При делении тела плоскостью, проходящей через его центр масс происходит понятно что. Тела три - точки три - плоскость одна.

[nikvic]

_Ivana в сообщении #664033 писал(а):

При делении тела плоскостью, проходящей через его центр масс происходит понятно что.

Разрежьте половую щётку по ЦМ и взвесьте куски

[_Ivana]

nikvic, щетку я давно порезал на куски при попытках посчитать площади поверхностей отрезанных от цилиндра . Если вы намекаете на ложность тезиса о равенстве объемов, приведите пожалуйста более наглядный (умзрительно) контрпример.

[nikvic]

Пара шаров разных радиусов (на одной спице малого объёма). ЦМ - между ними, ближе к бОльшему.

[nnosipov]

Возьмите треугольник.

[_Ivana]

Да, пример с парой шаров наглядно демонстрирует ошибочность. Спасибо.