2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача про бутерброд
Сообщение25.12.2012, 18:57 
Сама задача формулируется довольно легко: есть бутерброд, состоящий из хлеба, сыра и колбасы(по простому дано 3 тела в пространстве). Доказать, что одной плоскостью их можно поделить так, чтоб каждое тело поделилось пополам, т.е. на равные объёмы. Задача явно на непрерывность, существует подобная, но на плоскости и для 2 тел, при этом требуется строгое доказательство самой непрерывности. Бьюсь над ней долго, готов обсуждать.

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение25.12.2012, 19:19 
В книгах приводится решение этой задачи.

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение25.12.2012, 19:53 
а можно поинтересоваться в каких именно?..

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение25.12.2012, 20:01 
Некоторые пояснения есть хотя бы тут:
http://www.etudes.ru/ru/etudes/buterbrod/
Возможно, вам их будет достаточно.


Если хотите более продвинуто, посмотрите теорему Стоуна-Тьюки:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ham_sandwich_theorem

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение25.12.2012, 20:47 
Спасибо, но в своих поисках читал и то, и то.) проблема в том,что сославшим на теорему Борсука-Улама, меня попросят её доказать. Доказательство для N-мерного случая слишком сложно, а доказательство частного случая для простой 3х-мерной сферы я так и не нашёл

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение25.12.2012, 21:07 
По-моему, для $n>1$ доказательство нетривиально.

Впрочем, вот тут, среди различных подходов к доказательству теоремы Борсука-Улама, указаны два элементарных подхода:
http://www.math.nus.edu.sg/~matwml/courses/Graduate/MA5209%20Algebraic%20Topology/HamSandwich.pdf
Попробуйте посмотреть

(Оффтоп)

Советую создать новую тему именно про доказательство теоремы Борсука-Улама для $n=3$ и привести места, где испытываете трудности.

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение25.12.2012, 22:09 
Аватара пользователя
sinill57 в сообщении #663710 писал(а):
а можно поинтересоваться в каких именно?..

Стинрод, Чинн. Первые понятия топологии. Пар. 33.

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение26.12.2012, 16:00 
sinill57 в сообщении #663678 писал(а):
готов обсуждать

Тогда скажите, почему не устроит рабоче-крестьянское доказательство: у каждого из трех тел существует и однозначно определяется по известной формуле точка центра масс. При делении тела плоскостью, проходящей через его центр масс происходит понятно что. Тела три - точки три - плоскость одна.

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение26.12.2012, 16:11 
Аватара пользователя
_Ivana в сообщении #664033 писал(а):
При делении тела плоскостью, проходящей через его центр масс происходит понятно что.

Разрежьте половую щётку по ЦМ и взвесьте куски :roll:

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение26.12.2012, 16:21 
nikvic, щетку я давно порезал на куски при попытках посчитать площади поверхностей отрезанных от цилиндра :-) . Если вы намекаете на ложность тезиса о равенстве объемов, приведите пожалуйста более наглядный (умзрительно) контрпример.

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение26.12.2012, 16:25 
Аватара пользователя
Пара шаров разных радиусов (на одной спице малого объёма). ЦМ - между ними, ближе к бОльшему.

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение26.12.2012, 16:27 
Возьмите треугольник.

 
 
 
 Re: Задача про бутерброд
Сообщение26.12.2012, 16:33 
Да, пример с парой шаров наглядно демонстрирует ошибочность. Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group