Дельта функция от сложного аргумента

[Vladislav123]

Всем привет! При решении задачи по физике наткнулся на одну неприятную вещь: под интегралом стоит дельта функция от сложного аргумента и я хочу перейти к дельта функции от другого аргумента. Всем известна формула перехода, но там есть условие: производная сложной функции имеет простые нули, т.е. функция равна нулю, а её производная не равна. Как будет выглядеть эта формула, если производная обращается в нуль?

[Deggial]

Для записи формул используйте ТеХ (думаю, интегралы с дельта-функцией и их преобразования легче воспринимать в виде формул). Инструкции здесь или здесь (или в этом видеоролике).

[Vladislav123]

$\delta (f(x))=\sum\limits_k \frac {\delta(x-x_k)} {|f' (x_k)|}$

$f(x_k)=0 $, но $ f' (x_k)\ne0 $

Уважаемые знатоки, как изменится формула если $ f' (x_k)=0 $ ?

[Vladislav123]

Рассмотрим, к примеру, самый простой случай $\delta(x^2-a^2)=\frac{\delta(x-a)+\delta(x+a)}{2|a|}$
Если формально $a\to 0$ то $\delta(x^2-a^2)\to \delta(x^2)\to \infty$ что, на мой взгляд, неправильно.
Вообще, при выводе формулы использовалось то, что производная не должна обращаться в нуль одновременно с функцией.

Я думаю, что должно получиться что-то вроде $\delta(x^2)\propto \delta(x)$
Но как правильно?

[Vladislav123]

Всем большое спасибо, я разобрался.