Сумма - не целое значение

[Keter]

Доказать, что сумма

$$S(m, n)=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m+1}+...+\dfrac{1}{m+n}$$

не является целым числом для любого натурального $m$ и $n$.

[ИСН]

А я вот не знаю, что тут положено делать школьными методами.
Так-то понятно, что при m>1 сумма должна быть по крайней мере до 2m (иначе она тупо меньше единицы), а тогда между m и 2m найдётся простое число, которое - - -

[Keter]

ИСН, я тут думал как-то от предположения плясать.. может что-то вроде:

предположим, что $S(m, n)$ целое при некоторых $m$ и $n$. Ясно, что $n \ge 1$. А тогда среди чисел $m, m+1, ..., m+n$ есть четные.

[ИСН]

И чо.

[Keter]

Домножим на $l=lcm(m, m+1, ..., m+n)$. Оно тоже будет четным. Получим:

$$lS(m, n)=\dfrac{l}{m}+\dfrac{l}{m+1}+...+\dfrac{l}{m+n}.$$

-- 08.12.2012, 23:51 --

Тогда левая часть - четная. Осталось прийти к противоречию, то есть доказать, что правая часть - нечетная.

[ИСН]

Я не вижу, как Вы это докажете.

-- Вс, 2012-12-09, 00:58 --

А нет, уже вижу. Но моё доказательство мне всё равно нравится больше.

[Keter]

ИСН, я не вижу Хотя идея есть.. Как можно показать, что существует единственное такое $k$, что $\dfrac{l}{m+k}$ нечетное?

А что Вы предлагаете?

[ИСН]

Я свой способ изложил в первом сообщении.
А число будет единственным, потому что с этими двойками всегда так. Хочешь немного расширить интервал, чтобы прихватить предыдущее или следующее число, делящееся на ту же степень двойки - хрена! Его нет! Вернее, есть, но где-то далеко, а сначала изволь проглотить такое, которое...

[Keter]

Точно)) Степень двойки. Тонкий намек Существует единственное $a_k=m$, что $2^{a_i}$ делит $m+i$. Причем из того, что $m=\max \{a_0, a_1, ..., a_n\}$ следует, что $2^m$ делит $l$.

[jozef]

ИСН в сообщении #656001 писал(а):

А я вот не знаю, что тут положено делать школьными методами.
Так-то понятно, что при m>1 сумма должна быть по крайней мере до 2m (иначе она тупо меньше единицы), а тогда между m и 2m найдётся простое число, которое - - -

а не могли бы Вы показать, почему при m>1 сумма должна быть по крайней мере до 2m и почему она тупо меньше единицы в противном случае. Возможно я не вижу элементарного, но мне пока не понятно.

[ИСН]

Потому что ${1\over m}+{1\over m+1}+...+{1\over2m-1}<\underbrace{{1\over m}+...+{1\over m}}_{m\text{ раз}}$, например.

[Whitaker]

Keter
Разбиралась очень похожая задача можете посмотреть также здесь

[Keter]

Whitaker, уже доказал. Как всегда ИСН на нужную мысль направил. Но всё равно спасибо.