2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сумма - не целое значение
Сообщение08.12.2012, 23:24 
Доказать, что сумма $$S(m, n)=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m+1}+...+\dfrac{1}{m+n}$$ не является целым числом для любого натурального $m$ и $n$.

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение08.12.2012, 23:36 
Аватара пользователя
А я вот не знаю, что тут положено делать школьными методами.
Так-то понятно, что при m>1 сумма должна быть по крайней мере до 2m (иначе она тупо меньше единицы), а тогда между m и 2m найдётся простое число, которое - - -

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение08.12.2012, 23:47 
ИСН, я тут думал как-то от предположения плясать.. может что-то вроде:

предположим, что $S(m, n)$ целое при некоторых $m$ и $n$. Ясно, что $n \ge 1$. А тогда среди чисел $m, m+1, ..., m+n$ есть четные.

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение08.12.2012, 23:49 
Аватара пользователя
И чо.

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение08.12.2012, 23:50 
Домножим на $l=lcm(m, m+1, ..., m+n)$. Оно тоже будет четным. Получим: $$lS(m, n)=\dfrac{l}{m}+\dfrac{l}{m+1}+...+\dfrac{l}{m+n}.$$

-- 08.12.2012, 23:51 --

Тогда левая часть - четная. Осталось прийти к противоречию, то есть доказать, что правая часть - нечетная.

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение08.12.2012, 23:57 
Аватара пользователя
Я не вижу, как Вы это докажете.

-- Вс, 2012-12-09, 00:58 --

А нет, уже вижу. Но моё доказательство мне всё равно нравится больше.

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение09.12.2012, 00:07 
ИСН, я не вижу :lol: Хотя идея есть.. Как можно показать, что существует единственное такое $k$, что $\dfrac{l}{m+k}$ нечетное?

А что Вы предлагаете?

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение09.12.2012, 00:15 
Аватара пользователя
Я свой способ изложил в первом сообщении.
А число будет единственным, потому что с этими двойками всегда так. Хочешь немного расширить интервал, чтобы прихватить предыдущее или следующее число, делящееся на ту же степень двойки - хрена! Его нет! Вернее, есть, но где-то далеко, а сначала изволь проглотить такое, которое...

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение09.12.2012, 00:31 
Точно)) Степень двойки. Тонкий намек :-) Существует единственное $a_k=m$, что $2^{a_i}$ делит $m+i$. Причем из того, что $m=\max \{a_0, a_1, ..., a_n\}$ следует, что $2^m$ делит $l$.

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение09.12.2012, 01:04 
ИСН в сообщении #656001 писал(а):
А я вот не знаю, что тут положено делать школьными методами.
Так-то понятно, что при m>1 сумма должна быть по крайней мере до 2m (иначе она тупо меньше единицы), а тогда между m и 2m найдётся простое число, которое - - -


а не могли бы Вы показать, почему при m>1 сумма должна быть по крайней мере до 2m и почему она тупо меньше единицы в противном случае. Возможно я не вижу элементарного, но мне пока не понятно.

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение09.12.2012, 01:20 
Аватара пользователя
Потому что ${1\over m}+{1\over m+1}+...+{1\over2m-1}<\underbrace{{1\over m}+...+{1\over m}}_{m\text{ раз}}$, например.

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение09.12.2012, 02:02 
Аватара пользователя
Keter
Разбиралась очень похожая задача можете посмотреть также здесь

 
 
 
 Re: Сумма - не целое значение
Сообщение09.12.2012, 02:26 
Whitaker, уже доказал. Как всегда ИСН на нужную мысль направил. Но всё равно спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group