Мультипликативная функция [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Пусть функция $\theta(a)$ определена для всех целых положительных $a$ и функция $\psi(a)=\sum \limits_{d\mid a}\theta(d)$ мультипликативная. Доказать, что функция $\theta(a)$ также мультипликативная.

Моя попытка решения: По формуле обращения Мебиуса получаю, что

$$\theta(a)=\sum \limits_{d\mid a}\mu(d)\psi\left(\dfrac{a}{d}\right)$$

Будем проверять эту функцию на мультипликативность:
1) $\theta(1)=\sum \limits_{d\mid 1}\mu(d)\psi\left(\dfrac{1}{d}\right)=\mu(1)\psi(1)=1\cdot 1=1$
2) Пусть числа $a_1, a_2$ такие, что $\text{gcd}(a_1, a_2)=1$. Попытаемся показать, что $\theta(a_1a_2)=\theta(a_1)\theta(a_2)$
Если $a_1=a_2=1$, то равенство выполняется.
Если $a_1=1, a_2>1$, то равенство выполняется.
Если $a_1>1, a_2=1$, то равенство выполняется.
Теперь рассмотрим случай $a_1>1, a_2>1$ и по основной теореме арифметики они разлагаются на простые сомножители, а именно $a_1=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$ и $a_2=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\dots q_s^{\beta_s},$ где $\alpha_i\geqslant 1$ и $\beta_j\geqslant 1$.
Будем последовательно вычислять $\theta(a_1)$, $\theta(a_2)$ и $\theta(a_1a_2)$:

$$\theta(a_1)=\sum \limits_{d\mid a_1}\mu(d)\psi\left(\dfrac{a_1}{d}\right)=\prod \limits_{i=1}^{k}\left(\mu(1)\psi\left(\frac{a_1}{1}\right)+\mu(p_i)\psi\left(\frac{a_1}{p_i}\right)+\dots+\mu(p_i^{\alpha_i})\psi\left(\frac{a_1}{p_i^{\alpha_i}}\right)\right)=$$

$$=\prod \limits_{i=1}^{k}\left(\psi(a_1)-\psi\left(\frac{a_1}{p_i}\right)\right)$$

Аналогично вычисляя $\theta(a_2)$ получим:

$$\theta(a_2)=\prod \limits_{j=1}^{s}\left(\psi(a_2)-\psi\left(\frac{a_2}{q_j}\right)\right)$$

Вычисляем теперь $\theta(a_1a_2)$:

$$\theta(a_1a_2)=\sum \limits_{d\mid a_1a_2}\mu(d)\psi\left(\frac{a_1a_2}{d}\right)=\prod \limits_{i=1}^{k}\left(\psi(a_1a_2)-\psi\left(\frac{a_1a_2}{p_i}\right)\right)\times \prod \limits_{j=1}^{s}\left(\psi(a_1a_2)-\psi\left(\frac{a_1a_2}{q_j}\right)\right)=$$

$$=(\psi(a_2))^k(\psi(a_1))^s\theta(a_1)\theta(a_2)$$

Но как мы видим последнее вообще не равно $\theta(a_1)\theta(a_2)$. Получается, что где-то допущена ошибка, но где? В вычислениях я вроде не ошибся нигде. Помогите пожалуйста.

[nnosipov]

Как-то Вы усложняете дело. Можно спокойно обойтись без формулы обращения Мёбиуса.

[Whitaker]

nnosipov
Мне вроде показалось, что так легче. Получаем как бы явный вид функции $\theta(a)$. Ошибку никак не могу найти

[RIP]

Whitaker в сообщении #652499 писал(а):

$$\sum \limits_{d\mid a_1}\mu(d)\psi\left(\dfrac{a_1}{d}\right)=\prod \limits_{i=1}^{k}\left(\mu(1)\psi\left(\frac{a_1}{1}\right)+\mu(p_i)\psi\left(\frac{a_1}{p_i}\right)+\dots+\mu(p_i^{\alpha_i})\psi\left(\frac{a_1}{p_i^{\alpha_i}}\right)\right)$$

Эта равенство неверно. Формула $\sum_{d|n}f(d)=\prod_{p^\alpha\parallel n}(1+f(p)+\ldots+f(p^\alpha))$ здесь неприменима. А самое простое док-во получается, если заметить, что все делители $a_1a_2$ можно однозначно записать в виде $d_1d_2$, где $d_i|a_i$.

-- Сб 01.12.2012 17:39:52 --

При этом и формула обращения Мёбиуса не нужна. Достаточно индукции по $a_1+a_2$, например.

[Whitaker]

RIP
Почему неприменима? Ведь функция Мебиуса и наша функция мультипликативны, а значит их произведение тоже. Ничего противоречивого не получается вроде.

[nnosipov]

А, пардон, не вчитался в условие задачи. Здесь обратная задача.

[ex-math]

Можно и по-Вашему:

$$ \theta(a_1)=\sum_{d\mid p_1\ldots p_k}\mu(d)\psi\left(\frac{a_1}d\right), \theta(a_2)=\sum_{r\mid q_1\ldots q_s}\mu(r)\psi\left(\frac{a_2}r\right), \theta(a_1)\theta(a_2)=\sum_{d\mid p_1\ldots p_k}\sum_{r\mid q_1\ldots q_s}\mu(dr)\psi\left(\frac{a_1a_2}{dr}\right) $$

и заметить, что любой делитель $p_1\ldots p_kq_1\ldots q_s$ однозначно представляется в виде $dr$.

А в виде произведения не представишь, потому что неизвестно, будет ли $\psi\left(\frac{a}d\right)$ мультипликативной функцией $d$ (это не следует из мультипликативности $\psi(d)$).

[RIP]

Во-первых, функция $\mu(d)\psi(a_1/d)$ не является арифметической (как функция от $d$), поскольку определена не для всех $d\in\mathbb N$, а только для $d|a_1$. В принципе, это не проблема, поскольку только такие $d$ нам и нужны, но всё равно эта функция не является мультипликативной (вообще, говоря).

[bot]

Whitaker в сообщении #652499 писал(а):

Будем проверять эту функцию на мультипликативность:

А зачем проверять? Свёртка мультипликативных функций мультипликативна.

[nnosipov]

bot в сообщении #652535 писал(а):

Свёртка мультипликативных функций мультипликативна.

Действительно, причём доказательство такое же, как и в частном случае, когда одна из функций тождественно равна единице.