2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 17:30 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Здравствуйте, уважаемые друзья!

Пусть функция $\theta(a)$ определена для всех целых положительных $a$ и функция $\psi(a)=\sum \limits_{d\mid a}\theta(d)$ мультипликативная. Доказать, что функция $\theta(a)$ также мультипликативная.

Моя попытка решения: По формуле обращения Мебиуса получаю, что $$\theta(a)=\sum \limits_{d\mid a}\mu(d)\psi\left(\dfrac{a}{d}\right)$$ Будем проверять эту функцию на мультипликативность:
1) $\theta(1)=\sum \limits_{d\mid 1}\mu(d)\psi\left(\dfrac{1}{d}\right)=\mu(1)\psi(1)=1\cdot 1=1$
2) Пусть числа $a_1, a_2$ такие, что $\text{gcd}(a_1, a_2)=1$. Попытаемся показать, что $\theta(a_1a_2)=\theta(a_1)\theta(a_2)$
Если $a_1=a_2=1$, то равенство выполняется.
Если $a_1=1, a_2>1$, то равенство выполняется.
Если $a_1>1, a_2=1$, то равенство выполняется.
Теперь рассмотрим случай $a_1>1, a_2>1$ и по основной теореме арифметики они разлагаются на простые сомножители, а именно $a_1=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$ и $a_2=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\dots q_s^{\beta_s},$ где $\alpha_i\geqslant 1$ и $\beta_j\geqslant 1$.
Будем последовательно вычислять $\theta(a_1)$, $\theta(a_2)$ и $\theta(a_1a_2)$: $$\theta(a_1)=\sum \limits_{d\mid a_1}\mu(d)\psi\left(\dfrac{a_1}{d}\right)=\prod \limits_{i=1}^{k}\left(\mu(1)\psi\left(\frac{a_1}{1}\right)+\mu(p_i)\psi\left(\frac{a_1}{p_i}\right)+\dots+\mu(p_i^{\alpha_i})\psi\left(\frac{a_1}{p_i^{\alpha_i}}\right)\right)=$$$$=\prod \limits_{i=1}^{k}\left(\psi(a_1)-\psi\left(\frac{a_1}{p_i}\right)\right)$$ Аналогично вычисляя $\theta(a_2)$ получим: $$\theta(a_2)=\prod \limits_{j=1}^{s}\left(\psi(a_2)-\psi\left(\frac{a_2}{q_j}\right)\right)$$ Вычисляем теперь $\theta(a_1a_2)$: $$\theta(a_1a_2)=\sum \limits_{d\mid a_1a_2}\mu(d)\psi\left(\frac{a_1a_2}{d}\right)=\prod \limits_{i=1}^{k}\left(\psi(a_1a_2)-\psi\left(\frac{a_1a_2}{p_i}\right)\right)\times \prod \limits_{j=1}^{s}\left(\psi(a_1a_2)-\psi\left(\frac{a_1a_2}{q_j}\right)\right)=$$$$=(\psi(a_2))^k(\psi(a_1))^s\theta(a_1)\theta(a_2)$$ Но как мы видим последнее вообще не равно $\theta(a_1)\theta(a_2)$. Получается, что где-то допущена ошибка, но где? В вычислениях я вроде не ошибся нигде. Помогите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 17:34 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Как-то Вы усложняете дело. Можно спокойно обойтись без формулы обращения Мёбиуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 17:37 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
nnosipov
Мне вроде показалось, что так легче. Получаем как бы явный вид функции $\theta(a)$. Ошибку никак не могу найти :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 17:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Whitaker в сообщении #652499 писал(а):
$$\sum \limits_{d\mid a_1}\mu(d)\psi\left(\dfrac{a_1}{d}\right)=\prod \limits_{i=1}^{k}\left(\mu(1)\psi\left(\frac{a_1}{1}\right)+\mu(p_i)\psi\left(\frac{a_1}{p_i}\right)+\dots+\mu(p_i^{\alpha_i})\psi\left(\frac{a_1}{p_i^{\alpha_i}}\right)\right)$$
Эта равенство неверно. Формула $\sum_{d|n}f(d)=\prod_{p^\alpha\parallel n}(1+f(p)+\ldots+f(p^\alpha))$ здесь неприменима. А самое простое док-во получается, если заметить, что все делители $a_1a_2$ можно однозначно записать в виде $d_1d_2$, где $d_i|a_i$.

-- Сб 01.12.2012 17:39:52 --

При этом и формула обращения Мёбиуса не нужна. Достаточно индукции по $a_1+a_2$, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 17:42 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
RIP
Почему неприменима? Ведь функция Мебиуса и наша функция мультипликативны, а значит их произведение тоже. :roll: Ничего противоречивого не получается вроде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 17:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А, пардон, не вчитался в условие задачи. Здесь обратная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Можно и по-Вашему:
$$
\theta(a_1)=\sum_{d\mid p_1\ldots p_k}\mu(d)\psi\left(\frac{a_1}d\right),
\theta(a_2)=\sum_{r\mid q_1\ldots q_s}\mu(r)\psi\left(\frac{a_2}r\right),
\theta(a_1)\theta(a_2)=\sum_{d\mid p_1\ldots p_k}\sum_{r\mid q_1\ldots q_s}\mu(dr)\psi\left(\frac{a_1a_2}{dr}\right)
$$
и заметить, что любой делитель $p_1\ldots p_kq_1\ldots q_s$ однозначно представляется в виде $dr$.

А в виде произведения не представишь, потому что неизвестно, будет ли $\psi\left(\frac{a}d\right)$ мультипликативной функцией $d$ (это не следует из мультипликативности $\psi(d)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Во-первых, функция $\mu(d)\psi(a_1/d)$ не является арифметической (как функция от $d$), поскольку определена не для всех $d\in\mathbb N$, а только для $d|a_1$. В принципе, это не проблема, поскольку только такие $d$ нам и нужны, но всё равно эта функция не является мультипликативной (вообще, говоря).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Whitaker в сообщении #652499 писал(а):
Будем проверять эту функцию на мультипликативность:

А зачем проверять? Свёртка мультипликативных функций мультипликативна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мультипликативная функция [Теория чисел]
Сообщение01.12.2012, 18:55 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
bot в сообщении #652535 писал(а):
Свёртка мультипликативных функций мультипликативна.
Действительно, причём доказательство такое же, как и в частном случае, когда одна из функций тождественно равна единице.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group