Плотность числовой последовательности

[vicvolf]

Коровьев в сообщении #703660 писал(а):

vicvolf в сообщении #703555 писал(а):

Я согласен с Вами, но к сожалению, больше одного сообщения не читают.

Ну, это понятно. Сериалы лучше смотрят, когда они каждый день и каждый день есть концовка. Я этот сериал пробовал читать, но когда серии идут через две недели, да по разным каналам темам и ничем не заканчиваются, то мало того, что забываешь все определения и выводы, ещё и забываешь о чём речь-то вообще.
Естественно второй раз пересматривать всё заново никто не будет, как и смотреть продолжение.
Посему, лучше воспользуйтесь советом nnosipov

И создать снова новую тему! , которую никто читать не будет. Я так уже сделал - создал новую тему и дал в ней ссылки на старые. Каждая тема рассматривает свой вопрос, поэтому объединять их не надо. Спасибо, что читали темы. Жаль только, что не задавали вопросы, чтобы рассеить свои и мои сомнения, а то темы в дискуссиях часто остаются без обсуждения!

[nnosipov]

Имеются различные толкования одного и того же обозначения, которые и являются источником ошибок. Сначала читаем это:

vicvolf в сообщении #652224 писал(а):

Обозначим количество чисел в последовательности f(n) на интервале [A, B) - $\pi(f,A,B)$.

Более подробно: $\pi(f,A,B)$ --- это число членов последовательности $f(n)$, попавших в интервал $[A,B)$. Далее следует формула:

vicvolf в сообщении #652497 писал(а):

В случае, если функция g(x) - убывающая, то (4) запишется в виде:
$P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {[g^{-1}(a)]-[g^{-1}(b)] +1}.(4) $

На самом деле в знаменателе ранее было написано $\pi(g,A,B)$ (см. формулу (2)). Автор зачем-то вводит $a$ и $b$, которые есть $A$ и $B$ соответственно. Это становится понятно из следующего примера применения этой формулы:

vicvolf в сообщении #652497 писал(а):

На основании формулы (4) определим плотность распределения последовательности простых чисел в последовательности $n^2+1$ на интервале [2,51).
$g(n)=n^2+1$, поэтому обратная функция имеет вид - $g^{-1}(n)=\sqrt{n-1}$. Так как функция $g(n)=n^2+1$ - возрастающая, то выражение (4) имеет вид - $P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {[g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1}.(4) $.
$[g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1=[\sqrt{51-1}]-[\sqrt{2-1}]+1=7-1+1=7$.
Простые числа в последовательности $g(n)=n^2+1$ на интервале [2,51): 2,5,17,37. Поэтому $\pi(f,A,B)=4$.
Следовательно, искомая плотность $P(f,g,A,B)=4/7$.

Здесь $f(n)$ --- последовательность простых чисел. Налицо явное противоречие с определением $\pi(f,A,B)$, согласно которому $\pi(f,2,51)=15$.

Величину $P(f,g,A,B)$, определяемую формулой (2), автор называет "плотностью последовательности $f$ в последовательности $g$". Однако неформальный смысл этой фразы противоречит формальному определению этой величины. Как следствие, у автора в разных местах возникают различные толкования величины $P(f,g,A,B)$, что и является источником неверных выводов.

[vicvolf]

На самом деле, если читать последовательно, то все логично и понятно без примера.

vicvolf в сообщении #652224 писал(а):

Пусть для последовательности f(n) выполняется на концах интервала:a=f(A), b=f(B). Тогда:
1. Плотность последовательности чисел f(n) на последовательности натурального ряда:
$P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}$,(1)
2. Плотность последовательности чисел f(n) в последовательности g(n) на интервале [A, B):
$P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {\pi(g,A,B)}.(2) $
Обратим внимание, что $\pi(g,A,B)$ - это количество членов последовательности g(n) в натуральном ряде. Поэтому $a\leq g(n)\leq b$ => $g^{-1}(a)\leq n\leq g^{-1}(b)$. Тогда $\pi(g,A,B)= [g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1$,(3) где верхняя граница округляется по низу, а нижняя по верху. В случае, если $g^{-1}(b)$ целое число, то вместо $[g^{-1}(b)]$ в выражение (3) подставляется $[g^{-1}(b)] -1$.
Поэтому формулу (2), в случае сушествования обратной функции, можно представить в виде:
$P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {[g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1}.(4) $

В отношении примера согласен, он не удачен. Спасибо! Я уже раньше понял, но не мог уже исправить.

-- 01.04.2013, 13:45 --

nnosipov в сообщении #704220 писал(а):

Величину $P(f,g,A,B)$, определяемую формулой (2), автор называет "плотностью последовательности $f$ в последовательности $g$". Однако неформальный смысл этой фразы противоречит формальному определению этой величины. Как следствие, у автора в разных местах возникают различные толкования величины $P(f,g,A,B)$, что и является источником неверных выводов.

Хотел подчеркнуть, что анализируется плотность не в натуральном ряде, а в сопоставлении с другой последовательностью. Может лучше было бы название - плотность последовательности f по отношению к последовательности g.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #704279 писал(а):

Может лучше было бы название - плотность последовательности f по отношению к последовательности g.

Величина $P(f,g,A,B)$, определённая как отношение $\pi(f,A,B)/\pi(g,A,B)$, ничего не говорит о расположении членов последовательностей $f(n)$ и $g(n)$ относительно друг друга. Переезжаем в тему topic70298.html , здесь обсуждать больше нечего.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #704312 писал(а):

vicvolf в сообщении #704279 писал(а):

Может лучше было бы название - плотность последовательности f по отношению к последовательности g.

Величина $P(f,g,A,B)$, определённая как отношение $\pi(f,A,B)/\pi(g,A,B)$, ничего не говорит о расположении членов последовательностей $f(n)$ и $g(n)$ относительно друг друга. Переезжаем в тему topic70298.html , здесь обсуждать больше нечего.

Она ничего не говорит о доли членов одной последовательности в другой, но такой цели и не ставилось. Об этом другая тема topic68402.html.
Но об расположении членов последовательностей относительно друг друга она как раз говорит. Например, больше плотность одной последовательности, чем другой. Больше ли плотность последовательности квадратов, чем простых чисел - гипотеза Лежандра. Здесь еще много интересного. По-моему вы торопитесь с переездом!

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #704327 писал(а):

По-моему вы торопитесь с переездом!

У меня нет времени на пустые разговоры. Переезжаем.