Продолжение
Утверждение 3
Рассмотрим асимптотическую плотность последовательности f(n) в последоватнльности g(n). Если f(x) непрерывная. возрастающая функция, а для g(n) выполняется

, то

.
Доказательство
Для непрерывной функции G(t) на основании теореме о среднем для определенного интеграла выполняется:

(12)
где

.
На основании формул (7.2) и (12):

.
Следовательно,

(13) ч.т.д.
В качестве примера рассмотрим определение асимтотической плотности последовательности

в последовательности простых чисел g(n).
Обратная функция

, а асимтотическое количество простых чисел в натуральном ряде определяется формулой:
Поэтому на основании формулы (13):

.
При k=1

и асимптотика

, которая при всех n меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от 2 до x количество простых чисел больше квадратов натурального ряда.
При k=2

и асимптотика

, которая при n>100 меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от 100 до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности

.
При k=3

и асимптотика

, которая при n>6000 меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от 6000 до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности

.
При k=4

и асимптотика

, которая при

меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от

до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности

.
При k=5

и асимптотика

, которая при

меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от

до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности

и.т.д
Таким образом, при заданном k можно выбрать такое N(k), что для n>N(k) асимптотика меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от

до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности

.
Однако, если k устремить к бесконечности, тогда

и асимптотика станет

, которая при всех n больше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от 2 до x количество простых чисел меньше количества натуральных чисел, что естественно.
Утверждение 4
Рассмотрим асимптотическую плотность последовательности f(n) в последоватнльности g(n). Если для f(n) выполняется

, а g(x) непрерывная. возрастающая функция, то

(14)
Доказывается аналогично утверждению 3.
С помощью утверждения (4) решим пример, рассмотренный в начале темы.
Определить асимтотическую плотность последовательности простых чисел f(n) в последовательности арифметической прогрессии

.
Известно, что

а

, тогда на основании утверждения 4 получаем:

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения