Плотность числовой последовательности

[vicvolf]

Продолжение

Утверждение 3
Рассмотрим асимптотическую плотность последовательности f(n) в последоватнльности g(n). Если f(x) непрерывная. возрастающая функция, а для g(n) выполняется $\pi(g,A,x)\sim C\int_{A}^{x}{G(t)dt}$, то $P(f,g,A,x)\sim f^{-1}(x)/CxG(x)$.
Доказательство
Для непрерывной функции G(t) на основании теореме о среднем для определенного интеграла выполняется:
$\int_{A}^{x}{G(t)dt} = (x-A)G(t*),$(12)
где $A\leq t*\leq x$ .
На основании формул (7.2) и (12):
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,g,A,x)}=$
$\lim \limits_{x \to \infty} {f^{-1}(x) }/{\lim \limits_{x \to \infty} {C(x-A)G(t*)}}=$
$\lim \limits_{x \to \infty} {f^{-1}(x)/CxG(x)}$.
Следовательно, $P(f,g,A,x) \sim f^{-1}(x)/CxG(x).$(13) ч.т.д.

В качестве примера рассмотрим определение асимтотической плотности последовательности $f(n)=n^{1+1/k$ в последовательности простых чисел g(n).
Обратная функция $f^{-1}(n)=n^{k/(k+1)}$, а асимтотическое количество простых чисел в натуральном ряде определяется формулой:
$\pi(f,2,x)\sim \int_{2}^{x}{\frac {dt} {lnt}.$
Поэтому на основании формулы (13):
$P(f,g,2,x)\sim ln(x)/x^{1/(k+1)}$.
При k=1 $f(n)=n^2$ и асимптотика $P(f,g,2,x)\sim ln(x)/x^{1/2)$, которая при всех n меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от 2 до x количество простых чисел больше квадратов натурального ряда.
При k=2 $f(n)=n^{3/2}$ и асимптотика $P(f,g,2,x)\sim ln(x)/x^{1/3)$, которая при n>100 меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от 100 до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности $f(n)=n^{3/2}$.
При k=3 $f(n)=n^{4/3}$ и асимптотика $P(f,g,2,x)\sim ln(x)/x^{1/4)$, которая при n>6000 меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от 6000 до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности $f(n)=n^{4/3}$.
При k=4 $f(n)=n^{5/4}$ и асимптотика $P(f,g,2,x)\sim ln(x)/x^{1/5)$, которая при $n>3 \cdot 10^5$ меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от $3 \cdot 10^5$ до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности $f(n)=n^{5/4}$.
При k=5 $f(n)=n^{6/5}$ и асимптотика $P(f,g,2,x)\sim ln(x)/x^{1/6)$, которая при $n>2 \cdot 10^7$ меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от $2 \cdot 10^7$ до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности $f(n)=n^{6/5}$
и.т.д
Таким образом, при заданном k можно выбрать такое N(k), что для n>N(k) асимптотика меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от $ n > N(k) $ до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности $f(n)=n^{k+1/k}$.
Однако, если k устремить к бесконечности, тогда $f(n)=n$ и асимптотика станет $P(f,g,2,x)\sim ln(x)$, которая при всех n больше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от 2 до x количество простых чисел меньше количества натуральных чисел, что естественно.

Утверждение 4
Рассмотрим асимптотическую плотность последовательности f(n) в последоватнльности g(n). Если для f(n) выполняется $\pi(f,A,x)\sim C\int_{A}^{x}{F(t)dt}$, а g(x) непрерывная. возрастающая функция, то $P(f,g,A,x)\sim CxF(x)/g^{-1}(x).$ (14)
Доказывается аналогично утверждению 3.

С помощью утверждения (4) решим пример, рассмотренный в начале темы.
Определить асимтотическую плотность последовательности простых чисел f(n) в последовательности арифметической прогрессии $g(n)=kn+l, (k,l)=1$.
Известно, что $\pi(f,2,x)\sim 1/\varphi(k)\int_{2}^{x}{dt/ln(t)},$ а $g^{-1}(x)=(x-l)/k$, тогда на основании утверждения 4 получаем: $P(f,g,A,x)\sim k/(\varphi(k) ln(x)).$

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения

[vicvolf]

Продолжение

Разделим числитель и знаменатель в формуле (1) на В-А и получим:
$P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)/(B-A)} {\pi(g,A,B)/(B-A)}=\frac {P(f,A,B)}{P(g,A,B)},$ (15)
где $P(f,A,B), P(g,A,B)$ - соответственно плотности последовательностей f(n), g(n) в натуральном ряде.
Данные плотности находятся на основании формул (1) и (1.1) или асимптотической формулы (5) и утверждения 1.

С использованием плотности удобно описывать поведение последовательностей.
Например, для последней задачи:
$P(f,g,A,x)\sim k/(\varphi(k) ln(x)).$
где f(n) - последовательность простых чисел, а g(n) - последовательность арифметической прогрессии $g(n)=kn+l, (k,l)=1$.
График $P(f,g,A,x)$ показывает, что при небольших x плотность последовательности простых чисел больше плотности любой арифметической прогрессии. С ростом x плотность простых чисел убывает и при $x=e^{k/\varphi(k)}$ плотности равны. При $x>e^{k/\varphi(k)}$ плотность простых чисел становится меньше плотности любой арифметической прогрессии.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение

Понятие плотности последовательности
Традиционно под плотностью последовательности понимают долю членов последовательности в натуральном ряде чисел. Под асимптотической плотностью последовательности в ряде натуральных чисел традиционно понимают - $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)} {x-A) }$.
Целью данной работы было обобщить понятие традиционной плотности последовательности в натуральном ряде чисел на понятие плотности одной последовательности в другой последовательности.
Понятие плотности последовательности, которое дано в данной работе, совпадает с традиционной плотностью последовательности на натуральном ряде чисел, но в общем, понятие плотности одной последовательности в другой не является традиционным, т.е. не понимается, как доля членов одной последовательности в другой. В данном случае под плотностью одной последовательности в другой последовательности понимается отношение количества членов одной последовательности к количеству членов другой последовательности на одном и том же интервале натурального ряда.
Это дает возможность, кроме традиционного использования понятия плотности последовательности на интервале натурального ряда, решать задачи анализа соотношения плотностей различных последовательностей. Данный подход также удобен для определения оценок асимпточеской плотности последовательности и соотношения асимптотических плотностей различных последовательностей в натуральном ряде.
Нет ничего удивительного, что понятие плотности последовательности вводится для решения определенного класса задач. Например, плотность последовательности в натуральном ряде чисел по Шнирельману также не является традиционной и введена для решения определенного класса аддитивных задач теории чисел.
Интересен также другой подход к понятию плотности одной последовательности в другой последовательности, как доли членов одной последовательности в другой последовательности. Такой подход даст возможность решить другой класс задач. Например, определить - содержится ли в последовательности $n^2+1$ бесконечное число простых чисел и даже установить существование бесконечного числа простых чисел в последовательности, заданной многочленом n-ой степени с целыми коэффициентами.

Буду благодарен за замечания и предложения!

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #655526 писал(а):

Таким образом, при заданном k можно выбрать такое N(k), что для n>N(k) асимптотика меньше 1, т.е на любом интервале натурального ряда от $ n > N(k) $ до x количество простых чисел больше количества чисел последовательности $f(n)=n^{k+1/k}$.

Здесь описка - $f(n)=n^{1+1/k}$.

[vicvolf]

Теперь рассмотрим решение обратной задачи.

Пусть последовательность f(n) имеет асимптотическую плотность на интервале натурального ряда [$A,\infty$) - $P(f,A,\infty)$ с функцией плотности F(x), определенной на том же интервале, тогда асимтотическое количество членов данной последовательности на интервале [$A,\infty$) - $\pi(f,A,\infty)$ равно:
$\pi(f,A,\infty)=F(A)+F(A+1)+...+F(x)+...=\sum_{i=0}^{\infty}{F(A+i)}.$ (16)
Следовательно, $\pi(f,A,\infty)$ является площадью прямоугольников с основанием равным 1 и с высотой равной $F(A+i)$ на интервале [$A,\infty$).
Функция плотности F(x) является монотонно убывающей функцией, поэтому $\sum_{i=0}^{\infty}{F(A+i)}$ является площадью "выходящих" из под кривой F(x) прямоугольников, т.е площадь прямоугольников больше площади под кривой F(x).

Утверждение 5
Пусть последовательность f(n) имеет асимптотическую плотность на интервале натурального ряда [$A,\infty$) - $P(f,A,\infty)$ с функцией плотности F(x), определенной на том же интервале. Предположим, что на интервале [$A,\infty$) существует и непрерывна производная F'(x), а также выполняется условие - $\lim \limits_{x \to \infty} {xF'(x)}=0$, (17) тогда $\pi(f,A,\infty) \sim \int_{t=A}^{x}{F(t)dt}.$ (18)

Доказательство
Оценим разность:
$R(x)=\sum_{i=0}^{x}{F(A+i)}-\int_{A}^{x}{f(t)dt} < 1/2[|F'(A)|+|F'(A+1)|+...+|F'(x)|]$ .
Так как производная F'(x) непрерывна на [$A,\infty$), то существует точка A<c<x, что
$R(x)<1/2|F'(c)|(x-A).$
Перейдем к пределу при x стремящейся к бесконечности.
В этом случае, на основании свойств функции F(x), c также стремится к бесконечности, поэтому на основании (17) получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} {R(x)}=\lim \limits_{x \to \infty} [{\sum_{i=0}^{x}{F(A+i)} }-\int_{A}^{x}{F(t)dt}]\leq 1/2\lim \limits_{x \to \infty}{|F'(c)|(x-A)}=0$
Поэтому $\pi(f,A,\infty) \sim \int_{t=A}^{x}{F(t)dt}.$ ч.т.д.

Примеры:
1. Плотность простых чисел в натуральном ряде F(x) = 1/ln(x), данная функция удолетворяет условиям утверждения 5 и поэтому на основании этого утверждения для количества простыx чисел на интервале натурального ряда [$2,\infty$) выполняется $\pi(f,2,\infty) \sim \int_{t=2}^{x}{dt/ln(t)}.$
2.Плотность простых близнецов в натуральном ряде $F(x) = C2/ln^2(x)$, данная функция удолетворяет условиям утверждения 5 и поэтому на основании этого утверждения для количества простыx близнецов на интервале натурального ряда [$3,\infty$) выполняется $\pi(f,3,\infty) \sim C2\int_{t=3}^{x}{dt/ln^2(t)}.$
3. Функция $1/\sqrt{x}$ хотя является монотонно убывающей, но не удолетворяет условию (17) утверждения 5.

[vicvolf]

Небольшое пояснение

Для функции асимптотической плотности последовательности f(n) в натуральном ряде F(x) выполняется неравенство $F(x)\leq 1$, поэтому она принимает дробные значения и соответственно $\sum_{i=0}^{\infty}{F(A+i)}$ также может принимать дробные значения.
Так как асимптотическое количество членов последовательности $\pi(f,A,\infty)$ является натуральным числом, то:
$\pi(f,A,\infty)=[\sum_{i=0}^{\infty}{F(A+i)}].$
Естественно $\sum_{i=0}^{\infty}{F(A+i)}\geq [\sum_{i=0}^{\infty}{F(A+i)}]$, поэтому утверждение 5 справедливо.

[vicvolf]

Уточнение
Утверждение 5 справедливо при достаточно больших значениях А. Точнее, если в интервале [A,x) x стремится к бесконечности, то А тоже стремится к бесконечности. Если А небольшое, то в общем виде справедливо утверждение 4 в моей теме "Оценка количества некоторых групп чисел..." (сообщения от 26.12.2012 и 27.12.2012).

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #656637 писал(а):

В данном случае под плотностью одной последовательности в другой последовательности понимается отношение количества членов одной последовательности к количеству членов другой последовательности на одном и том же интервале натурального ряда.
Это дает возможность, кроме традиционного использования понятия плотности последовательности на интервале натурального ряда, решать задачи анализа соотношения плотностей различных последовательностей. Данный подход также удобен для определения оценок асимпточеской плотности последовательности и соотношения асимптотических плотностей различных последовательностей в натуральном ряде.

Как раз гипотеза Лежандра требует сравнения плотности последовательности квадратов натуральных чисел и плотности последовательности простых чисел на ограниченном интервале. Эти последовательности не имеют общих членов, поэтому плотность как доля одной последовательности в другой здесь не проходит. Смотрите тему "О гипотезе Лежандра".

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #655014 писал(а):

На основании (7.3) найдем асимптотическую плотность $f(n)=k_1n+l_1, (k_1,l_1)=1$ в последовательности $g(n)=k_2n+l_2, (k_2,l_2)=1$, где $k_1>k_2$:
$P(f,g,A,x)=\frac {1/k_1} {1/k_2}=k_2/k_1<1$.

Возьмём $f(n)=8n+1$, $g(n)=4n+3$. По Вашей формуле получается $1/2$, в то время как последовательности $f(n)$ и $g(n)$ вообще не пересекаются. В общем, Ваша формула (для плотности одной последовательности в другой последовательности) просто неверна. А на этой формуле Вы и основываете все свои выводы. В частности, пытаетесь доказать, что в последовательности $n^2+1$ имеется бесконечно много простых чисел.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703358 писал(а):

vicvolf в сообщении #655014 писал(а):

На основании (7.3) найдем асимптотическую плотность $f(n)=k_1n+l_1, (k_1,l_1)=1$ в последовательности $g(n)=k_2n+l_2, (k_2,l_2)=1$, где $k_1>k_2$:
$P(f,g,A,x)=\frac {1/k_1} {1/k_2}=k_2/k_1<1$.

Возьмём $f(n)=8n+1$, $g(n)=4n+3$. По Вашей формуле получается $1/2$, в то время как последовательности $f(n)$ и $g(n)$ вообще не пересекаются. В общем, Ваша формула (для плотности одной последовательности в другой последовательности) просто неверна. А на этой формуле Вы и основываете все свои выводы. В частности, пытаетесь доказать, что в последовательности $n^2+1$ имеется бесконечно много простых чисел.

Эта тема, как раз о другой плотности для непересекающихся последовательностей. Например, для исследования гипотезы Лежандра, там последовательность квадратов и простых чисел не имеет общих членов. Посмотрите сообщение в этой теме выше, называемую выводы.
При рассмотрении последовательности простых чисел в многочленах я рассматриваю совсем другую плотность. Смотрите тему
topic68402.html

[nnosipov]

В Ваших темах невозможно ориентироваться. Напишите в ОДНОМ МЕСТЕ полное и подробное доказательство того, что в последовательности $n^2+1$ имеется бесконечно много простых чисел. Только в этом случае Вы можете рассчитывать на какое-то конструктивное обсуждение. Выискивать это доказательство по кусочкам в Ваших нечитабельных текстах я не буду. Пока Вы совершаете просто детские ошибки, на одну из которых я Вам указал.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703383 писал(а):

В Ваших темах невозможно ориентироваться. Напишите в ОДНОМ МЕСТЕ полное и подробное доказательство того, что в последовательности $n^2+1$ имеется бесконечно много простых чисел..

Я это не доказываю -это многочлен 2-ого типа, а я доказываю про многочлены 3 -его типа. прочтите все-таки доказательството. Там только одно сообщение и есть ссылки на нужные темы.

Цитата:

Пока Вы совершаете просто детские ошибки, на одну из которых я Вам указал.

Ничего Вы не указали, это совсем другая плотность, которая поэтому выделена в отдельную тему.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #703413 писал(а):

Я это не доказываю -это многочлен 2-ого типа, а я доказываю про многочлены 3 -его типа. прочтите все-таки доказательството. Там только одно сообщение и есть ссылки на нужные темы.

Ну, возьмите $4n^2+1$ вместо $n^2+1$, какая разница. "Доказательство" я посмотрел, доказательства никакого нет. Ещё раз по поводу ссылок на нужные темы --- пишите всё в одном месте, как можно более подробнее, начиная с определения всех понятий, которые вводите. Помните: любая мутная формулировка (определения или утверждения) обычно является источником ошибок.

vicvolf в сообщении #703413 писал(а):

Ничего Вы не указали, это совсем другая плотность, которая поэтому выделена в отдельную тему.

Вы пишите очевидно ошибочные утверждения и даже не замечаете своих ошибок. Пример такого утверждения я привёл. С таким уровнем математической культуры браться за решение открытых проблем ...

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #703486 писал(а):

Ну, возьмите $4n^2+1$ вместо $n^2+1$, какая разница. ...

Разница в том, что последовательность многочленов 3-его типа принимает только нечетные значения, а это в дальнейшем используется в доказательстве.

Цитата:

"Доказательство" я посмотрел,
...

Спасибо!

Цитата:

Ещё раз по поводу ссылок на нужные темы --- пишите всё в одном месте, как можно более подробнее, начиная с определения всех понятий, которые вводите. Помните: любая мутная формулировка (определения или утверждения) обычно является источником ошибок.
...

Я согласен с Вами, но к сожалению, больше одного сообщения не читают.

[Коровьев]

vicvolf в сообщении #703555 писал(а):

Я согласен с Вами, но к сожалению, больше одного сообщения не читают.

Ну, это понятно. Сериалы лучше смотрят, когда они каждый день и каждый день есть концовка. Я этот сериал пробовал читать, но когда серии идут через две недели, да по разным каналам темам и ничем не заканчиваются, то мало того, что забываешь все определения и выводы, ещё и забываешь о чём речь-то вообще.
Естественно второй раз пересматривать всё заново никто не будет, как и смотреть продолжение.
Посему, лучше воспользуйтесь советом nnosipov