ОДЗ в диффурах

[bot]

Nagva1 в сообщении #642558 писал(а):

От какого начального условия?..

Общее решение - это заготовка для решения задачи Коши. Как она ставится, знаете? Вот там и есть начальное условие $y(x_0)=y_0$.
Путём переобозначения константы записываем $y=\ln |x| +C$ в виде $y=\ln |x| +\ln C, \, (C>0)$ и, свернув сумму логарифмов в логарифм произведения, получаем $y=\ln C|x|$. Теперь раздеваем икса, а константу освобождаем от обязанности быть положительной - пущай они теперь под логарифмом сами договариваются о синхронности своих знаков. Вот так и возникает $y=\ln Cx$ вместо исходного $y=\ln |x| +C$.
В точке $(0, y_0)$ (коль скоро икс появился под логарифмом) нарушается единственность решения задачи Коши, то есть в такой точке задача ставиться не будет и таким образом в конкретной задаче икс будет иметь определённый знак - вот тот же самый знак, волей-неволей, придётся иметь и константе.