преобразование чисел

[marle.na]

Помогите, пожалуйста, решить
C четверкой чисел$(x_1,y_1,x_2,y_2) разрешается сделать преобразования . Берутся произвольные положительные числа $a$и $b$ . Далее четверка чисел $(X_1, Y_1, X_2, Y_2)$ образуется по таким правилам:$X_1=ax_1+by_1; Y_1=-bx_1+ay_1; X_2=ax_2+by_2; Y_2=-bx_2+ay_2.$
Можно ли с помощью нескольких таких шагов с четверки (3,10,-20,6) образовать четверку (12,-14,23,7)?

[Алексей К.]

Запишите матрицу преобразования одной четвёрки в другую.
Посмотрите, какая матрица получится, если преобразование применить дважды.
Убедитесь, что несколько таких шагов с некоторыми $a$ и $b$ эквивалентны одному шагу с какими-то другими $A$ и $B$.

[nnosipov]

marle.na в сообщении #641635 писал(а):

Можно ли с помощью нескольких таких шагов с четверки (3,10,-20,6) образовать четверку (12,-14,23,7)?

Ещё один намёк: вспомните про умножение комплексных чисел (если не знаете, что такое комплексные числа, прочитайте про них где-нибудь, это знание может быть полезно и в других вопросах).

[marle.na]

Алексей К. в сообщении #641643 писал(а):

Запишите матрицу преобразования одной четвёрки в другую.
Посмотрите, какая матрица получится, если преобразование применить дважды.
Вывод обсудим.

В школе матрицы не учили?!

[Алексей К.]

А комплексные числа?

[bot]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #641649 писал(а):

Ещё один намёк

Это всё-таки не ещё, а вместо. Пока я выбирал между матрицами и комплексными числами, Алексей К. меня опередил и я не стал влезать, чтобы не сбивать ТС.

[cool.phenon]

Где-то я такую задачу уже видел..

[marle.na]

bot в сообщении #641657 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #641649 писал(а):

Ещё один намёк

Это всё-таки не ещё, а вместо. Пока я выбирал между матрицами и комплексными числами, Алексей К. меня опередил и я не стал влезать, чтобы не сбивать ТС.

[/q

Тоже не учили!

[nnosipov]

marle.na в сообщении #641666 писал(а):

Тоже не учили!

Ну, тогда ничего не остаётся как произносить разные заклинания. Вот, произношу: "сумма квадратов" (чтобы сработало, нужно произнести два раза). Хотя, по-хорошему, лучше бы взять учебник, где про эти комплексные числа написано, да и прочитать.

[cool.phenon]

Есть у меня подозрение, что это олимпиадная задача. Школьники такого не решают. Студенты-решают. Но у них слова "комплексные числа" и "матрицы" недоумения не вызывают

[AlexValk]

Посмотрите что происходит с величиной $x_1x_2+y_1y_2$ после нескольких преобразований (вычислите $X_1X_2+Y_1Y_2$ и сделайте выводы).

[Shadow]

Просто нужно заметить

nnosipov в сообщении #641670 писал(а):

"сумма квадратов"

Спокойно решается. Школьная задача. Ну, из интересных.

[мат-ламер]

Преобразование раскладывается на два. Каждое действует в своём подпространстве и увеличивает норму своего вектора одинаково.

(Оффтоп)

Извиняюсь за кривой стиль.

[marle.na]

AlexValk в сообщении #641680 писал(а):

Посмотрите что происходит с величиной $x_1x_2+y_1y_2$ после нескольких преобразований (вычислите $X_1X_2+Y_1Y_2$ и сделайте выводы).

$X_1X_2+Y_1Y_2$ равно 0 как и $x_1x_2+y_1y_2$

[cool.phenon]