2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение22.09.2012, 20:01 
Заслуженный участник


17/09/10
1885
Теперь сформулирую задачу, ради которой эта тема затевалась.
Докажите, что у вписанного в окружность четырехугольника, у которого длины сторон последовательные числа Фибоначчи,
размер площади - иррациональное число (или синусы всех углов иррациональны, как больше нравится).

Просьба Модераторам: выделить это сообщение в отдельную тему. Название можно оставить с пометкой выделено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение22.09.2012, 21:39 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
По просьбе автора отделено от темы «Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи»

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение26.09.2012, 18:54 
Заслуженный участник


17/09/10
1885
Пусть такой вписанный в окружность четырехугольник существует и площадь его рациональное число.
Площадь $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$. где $a,b,c,d$ - длины стороны и $p$ - полупериметр.
Или $(4S)^2=A\cdot{B}\cdot{C}\cdot{D}$ где
$A=F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}-F_{n+4}=F_{n+1}$
$B=F_{n+1}+F_{n+2}-F_{n+3}+F_{n+4}=F_{n+4}$
$C=F_{n+1}-F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}=2F_{n+1}+F_{n+4}$
$D=-F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}=2F_{n+4}-F_{n+1}$
$(4S)^2=(2F_{n+1}+F_{n+4})(2F_{n+4}-F_{n+1})F_{n+1}F_{n+4}$
Поделим это равенство на ${F^4}_{n+1}$ и обозначим $x=2{\frac{F_{n+4}}{F_{n+1}}}$, $y={\frac{4S}{{F^2}_{n+1}}}$.
Тогда $y^2=x^3+3x^2-4x=x(x-1)(x+4)\qquad(1)$. На этой эллиптической кривой три очевидные рациональные точки $(0,0),(1,0),(-4,0)$
второго порядка и $\infty$. Дискриминант её $\bigtriangleup=2^8{5^2}$, поэтому можно провести редукцию по модулю 7. $E_7{(Z_7)}$ содержит четыре точки
$(0,0),(1,0),(3,0),\infty$. Из теоремы Лутц-Нагеля - на кривой четыре рациональные точки конечного порядка.
Докажем, что ранг $(1)$ равен нулю и, следовательно, рациональных точек бесконечного порядка на ней нет.
Действуем по схеме, которая приводит к успеху в силу достаточной простоты $(1)$.
Вводим еще одну эллиптическую кривую $y^2=x^3-6x^2+25x$. Коэффициенты её вычисляются так: $-6=-2\cdot{3}, 25=3^2-4\cdot{(-4)}$,
( т.е. $a_1=-2a,b_1=a^2-4b$).
Выписываются два уравнения для первой и второй кривой.
1. $dt^2=d^2{p^4}+3dp^2{q^2}-4q^4\qquad(2)$
2. $DT^2=D^2{P^4}-6DP^2{Q^2}+25Q^4\qquad(3)$
Коэффициенты берутся из уравнений кривых.
Формула для ранга кривой $(1)$. Пусть $r$ - ранг, тогда $2^r=\frac{{N_1}\ctod{N_2}}{4}$, где $N_1$ количество целых $d$,
свободных от квадратов, делящих $4$ (коэффициент при $q^4$) и дающих целые нетривиальные решения $q,p,t$ для $(2)$, а $N_2$ количество целых $D$,
свободных от квадратов, делящих $25$ (коэффициент при $Q^4$) и дающих целые нетривиальные решения $Q,P,T$ для $(3)$.
Рассмотрим $(2)$. Варианты для $d$: $d=\pm{1},\pm{2}$
При $d=1$ есть решение $q=1,p=1,t=0$. При $d=-1$ тоже есть решение $p=0,q=1,t=2$. Два нужных значения $d$ уже имеем.
При $d=2$ уравнение $(2)$ выглядит так: $2t^2=4p^4+6p^2{q^2}-4q^4$. Сокращая на $2$ имеем $t^2=2p^4+3p^2{q^2}-2q^4$.
Без ограничения общности можно считать, что $gcd(p,q)=1$. Сравнивая левую и правую части уравнения по модулю $4$, видим, что уравнение целых решений не имеет.
При $d=-2$ получаем уравнение $t^2=-2p^4+3p^2{q^2}+2q^4$. Оно не имеет решений по той же причине, что и предыдущее. Значит, $N_1=2$.
Рассмотрим $(3)$. Варианты для $D$: $D=\pm{1},\pm{5}$.
При $D=1$ есть решение $P=0,Q=1,T=5$, при $D=-1$ и $D=-5$ уравнение не имеет решений, поскольку левая часть меньше нуля, а правая больше.
При $D=5$ решение есть $P=Q=1, T=2$. Таким образом, $N_2=2$. Используя формулу для ранга $2^r=1$. Ранг $r=0$, следовательно,
рациональных точек бесконечного порядка на кривой нет.

Конечно, такие решения технически возможны, когда немного простых составляющих у коэффициентов кривых ну и т.д. и т.п.
Задача мной специально подобрана, чтобы такой расчет можно было провести. И были пожелания о проведении такого расчета.
Проще, обратиться к PARI/GP, если, конечно, он есть под рукой.
Код:
gp > ellanalyticrank(ellinit([0,3,0,-4,0]))[1]
%1 = 0

Остается проверить точки $(0,0),(1,0),(-4,0)$. $x=2{\frac{F_{n+4}}{F_{n+1}}}$.
$(0,0)$ соответствует $F_{n+4}=0$. $(1,0)$ соответствует $2F_{n+4}=F_{n+1}$. $(-4,0)$ соответствует $F_{n+4}=-2F_{n+1}$.
Все три ситуации невозможны. Мы пришли к противоречию с первоначальной посылкой о том, что такой четырехугольник вписан в окружность и имеет рациональную площадь.
Доказательство завершено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение27.09.2012, 08:47 
Заслуженный участник


20/12/10
6348
scwec в сообщении #623693 писал(а):
Формула для ранга кривой $(1)$. Пусть $r$ - ранг, тогда $2^r=\frac{{N_1}\ctod{N_2}}{4}$, где ...
Откуда эта формула?

-- Чт сен 27, 2012 12:56:46 --

scwec в сообщении #623693 писал(а):
имеем $t^2=2p^4+3p^2{q^2}-2q^4$.
Это уравнение я выписывал, но бросил его, полагая, что здесь какой-то нетривиальный спуск. А просто проверить по модулю даже и в голову не пришло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение27.09.2012, 10:06 
Заслуженный участник


17/09/10
1885
nnosipov в сообщении #623831 писал(а):
Откуда эта формула?

Формула и вся опущенная теоретическая подоплека содержится в книге J.H.Silverman, J.Tate, Rational Points on Elliptic Curves 1992. стр. 91 и её окрестности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение27.09.2012, 10:46 
Заслуженный участник


20/12/10
6348
Спасибо, надо будет посмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение15.10.2012, 17:15 
Заслуженный участник


17/09/10
1885
Хочу предложить задачу, решение которой чуть-чуть контактирует с вышеизложеным, но совершенно элементарно и не зависит от него.
nnosipov в сообщении #623831 писал(а):
scwec в сообщении #623693 писал(а):
имеем $t^2=2p^4+3p^2q^2-2q^4$
Это уравнение я выписывал, но бросил его, полагая, что здесь какой-то нетривиальный спуск. А просто проверить по модулю даже и в голову не пришло.

Задача такая. Надо найти треугольник, длины двух сторон которого равны $1$ и $2$, а третья сторона имеет рациональную длину и площадь треугольника - рациональна.
Или доказать, что такого треугольника не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение15.10.2012, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13727
Почему-то теорема синусов вспоминается.
Длины сторон — $1, 2, a$
Синусы углов — $S_1, S_2, S_a$
Косинусы углов — $C_1, C_2, C_a$
Тогда $S_2=2S_1;\;S_a=aS_1$
$S_a=S_1C_2+S_2C_1=S_1\cdot(C_2+2C_1)$
$a=(C_2+2C_1)$

То есть надо найти такое рациональное $S_1$, чтобы $\sqrt{1-4S_1^2}+2\sqrt{1-S_1^2}$ было рациональным.
Пусть $S_1=n/m$.
$\sqrt{1-4S_1^2}+2\sqrt{1-S_1^2}$
Может ли $\sqrt{m^2-4n^2}+2\sqrt{m^2-n^2}$ быть целым при целых $2n<m$?

Пишем малюсенький скрипт
Код:
for (m=2; m<6000; m++) {
   for (n=1; n<m/2; n++) {
      C=Math.sqrt(m*m-4*n*n)+2*Math.sqrt(m*m-n*n);
      if (С- Math.floor(C) < 0.00001) {trace (n+" "+m+" "+С)}
      
}}


Увы, только вот :-(
564 1585 4076.00000031854
Значит с некоторой вероятностью можно утверждать, что таких треугольников нет :D

Вот если бы исходные длины были 1 и 1, то решений куча. Например, $\{1;1;8/5\}$ или $\{1;1;999/648\}$

Ещё $\{1;6;845/145\},\;\{1;13;19138/901\},\;$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение15.10.2012, 17:33 
Заслуженный участник


17/09/10
1885
gris в сообщении #631302 писал(а):
Почему-то теорема синусов вспоминается.

Задача хоть и элементарная, но не совсем простая. Одними синусами не обойтись

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение15.10.2012, 19:30 
Заслуженный участник


20/12/10
6348
scwec в сообщении #631305 писал(а):
Одними синусами не обойтись
Здесь должно вылезти уравнение $x^4-x^2y^2+y^4=z^2$, а значит, только методом спуска. Кстати, с уравнением $x^4+x^2y^2+y^4=z^2$ та же история.

-- Пн окт 15, 2012 23:31:33 --

gris в сообщении #631302 писал(а):
Значит с некоторой вероятностью можно утверждать, что таких треугольников нет :D
Конечно, их нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение15.10.2012, 20:15 
Заслуженный участник


17/09/10
1885
nnosipov в сообщении #631342 писал(а):
Здесь должно вылезти уравнение $x^4-x^2y^2+y^4=z^2$ , а значит, только методом спуска.

У меня в решении этого уравнения нет. Нет и метода спуска.
Насчет отсутствия треугольника, Вы правы. Кстати, нет и тругольника со сторонами $2,3$. Ну, тут можно обобщать и дальше.
Смотря по тому, какое появится доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение15.10.2012, 20:24 
Заслуженный участник


20/12/10
6348
scwec в сообщении #631364 писал(а):
У меня в решении этого уравнения нет. Нет и метода спуска.
Значит, я опять не заметил чего-то простого.

На самом деле, я просто ошибся в знаке :) Действительно, смотрим по модулю 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение15.10.2012, 20:51 
Заслуженный участник


17/09/10
1885
nnosipov, это Вы сейчас про приведенное Вами уравнение или про что-то, чего пока не видно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение15.10.2012, 21:05 
Заслуженный участник


20/12/10
6348
Это я про уравнение $-9x^4+10x^2y^2-y^4=z^2$, при анализе которого мне привиделось то уравнение, которое я написал выше.

Вообще, симпатичные примеры Вы нашли. Простые, но не совсем очевидные соображения неожиданно приносят успех.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи (II)
Сообщение15.10.2012, 21:18 
Заслуженный участник


17/09/10
1885
nnosipov, напишите как все это связано с первоначальной задачей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group