2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 17:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Докажите, что четырехугольник, у которого длины сторон являются последовательными числами Фибоначчи, не может быть вписан в окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 18:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А разве может быть вообще соотношение сторон (при условии, конечно, что четырёхугольник из таких сторон вообще можно построить), для которого вписанность в окружность была бы невозможна?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
ewert
Окружность определяется тремя точками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Мне кажется, что решение связано с теоремой косинусов. У вписанного четырёхугольника косинусы противоположных углов равны по модулю и отличаются по знаку. Для конкретной четвёрки сторон из теоремы косинусов для каждой диагонали мы можем получить все углы и диагонали. Но одна диагональ уже полностью определяет четырёхугольник. Вероятно, это будет в противоречии со второй диагональю или углом.
Хотя куда ему деваться?
Я вот построил четырехугольник со сторонами 1, 1, 2, 3. Угол при сторонах 1 и 2 равен $120^{\circ}$, при сторонах 1 и 3 равен $60^{\circ}$. Вроде бы всё корректно.

Вот описанным он точно не может быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 18:45 


19/05/10

3940
Россия
ewert в сообщении #621886 писал(а):
А разве может быть вообще соотношение сторон (при условии, конечно, что четырёхугольник из таких сторон вообще можно построить), для которого вписанность в окружность была бы невозможна?...


Возьмем равносторонний треугольник (большой) и срежем один уголок немного
Вроде в такой четырехугольник окружность не впишешь

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 18:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
mihailm в сообщении #621907 писал(а):
Вроде в такой четырехугольник окружность не впишешь
Нужно наоборот четырёхугольник вписывать в окружность.

А разве четырёхугольник со сторонами 1, 1, 2, 3 не будет контрпримером к утверждению задачи?

-- Пт сен 21, 2012 22:56:45 --

gris в сообщении #621903 писал(а):
Вот описанным он точно не может быть.
Это должно быть очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 19:02 


19/05/10

3940
Россия
nnosipov в сообщении #621915 писал(а):
mihailm в сообщении #621907 писал(а):
Вроде в такой четырехугольник окружность не впишешь
Нужно наоборот четырёхугольник вписывать в окружность.
...

Точно, был невнимателен

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 19:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А нельзя последовательность Фибоначчи трактовать расширительно?
А то бы 2, 1, 3, 4 можно и описать. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 19:37 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Последовательность соблюдать вовсе не обязательно. Справедливо даже следующее. Четырехугольник не вписывается в окружность, если длины сторон просто все разные числа Фибоначчи. ($1,1,2,3$ тоже не вписывается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Значит, мы чего-то не понимаем. Я опять к 1, 1, 2, 3. Пусть диагональ, образующая треугольник со сторонами 1 и 2, а так же 3 и 1 равна $d$, а угол, образованный 1 и 2 равен $a$. По теореме косинусов (она не только в ВТФ применяется :-)

$d^2=1+4+4\cos a=1+9-6\cos 6$, откуда $\cos a=0.5$, а $d=\sqrt 7$

Строим треугольник $1,  2, \sqrt 7$, пристраиваем к стороне $\sqrt 7$ стороны $3$ и $1$. По теореме косинусов угол между ними равен $60^{\circ}$
Суммы противоположных углов равны обе пи. Можно описать окружность.
Такую же процедуру можно применить к другому четырёхугольнику (надеюсь) и по заданным сторонам определить углы.

+++ поправил. тройка в квадрате.

$d^2=1^2+2^2-2\cdot 1 \cdot 2\cdot \cos b=1^2+3^2-2\cdot 1 \cdot 3\cdot \cos a$

$\cos b=-\cos a$

$d^2=5+4 \cos a=10-6 \cos a$

Я не утверждаю, что прав, а думаю, что не так понял условие. :oops: Хотя, конечно, не думаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 20:04 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
gris, это я не понимаю что Вы написали. Посмотрите на строчку с $d^2$. Что там за тройка после второго равенства. Ну и вообще.
Прочтите свой текст внимательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 20:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec, что-то у Вас не так в условии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 20:24 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Да, действительно, забыл добавить в условие про перпендикулярность диагоналей. Извиняюсь, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение21.09.2012, 20:30 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
scwec в сообщении #621938 писал(а):
Последовательность соблюдать вовсе не обязательно. Справедливо даже следующее. Четырехугольник не вписывается в окружность, если длины сторон просто все разные числа Фибоначчи. ($1,1,2,3$ тоже не вписывается).
Вписывается.
Да и вообще, если можно построить какой-нибудь четырёхугольник с некоторым набором длин сторон (просто неравенства треугольника), то можно построить вписанный четырёхугольник с тем же набором длин сторон (и в том же порядке).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вписанный четырехугольник и числа Фибоначчи
Сообщение22.09.2012, 02:55 
Аватара пользователя


25/03/08
241
scwec в сообщении #621974 писал(а):
Да, действительно, забыл добавить в условие про перпендикулярность диагоналей. Извиняюсь, конечно.


Судя по этому, вы имеете в виду следующую задачу:

Цитата:
Докажите, что четырехугольник, у которого длины сторон являются последовательными числами Фибоначчи, а диагонали перпендикулярны, не может быть вписан в окружность.


Но это излишнее усложнение задачи, так как можно доказать более сильное утверждение:

Цитата:
Не существует четырехугольника, у которого длины сторон являются последовательными числами Фибоначчи, а диагонали перпендикулярны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group