Пусть такой вписанный в окружность четырехугольник существует и площадь его рациональное число.
Площадь
![$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/8/fc83cfaa55084069bf3518df5609c07a82.png)
. где
![$a,b,c,d$ $a,b,c,d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/4/e2422452ef7d65e15f62276f42bcf94c82.png)
- длины стороны и
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
- полупериметр.
Или
![$(4S)^2=A\cdot{B}\cdot{C}\cdot{D}$ $(4S)^2=A\cdot{B}\cdot{C}\cdot{D}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/6/84602edb5752493ebffcb52f87983b1b82.png)
где
![$A=F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}-F_{n+4}=F_{n+1}$ $A=F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}-F_{n+4}=F_{n+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/0/010852d2b628bb80e326566e3ed0a69382.png)
![$B=F_{n+1}+F_{n+2}-F_{n+3}+F_{n+4}=F_{n+4}$ $B=F_{n+1}+F_{n+2}-F_{n+3}+F_{n+4}=F_{n+4}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/5/fd5ee8c0b6c4b74341874dfc17e9d8c182.png)
![$C=F_{n+1}-F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}=2F_{n+1}+F_{n+4}$ $C=F_{n+1}-F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}=2F_{n+1}+F_{n+4}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/4/8149631dd1d57eeadf33f7f921deb82182.png)
![$D=-F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}=2F_{n+4}-F_{n+1}$ $D=-F_{n+1}+F_{n+2}+F_{n+3}+F_{n+4}=2F_{n+4}-F_{n+1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/1/7f10407ce41a36bd00995337f6fc4dd382.png)
![$(4S)^2=(2F_{n+1}+F_{n+4})(2F_{n+4}-F_{n+1})F_{n+1}F_{n+4}$ $(4S)^2=(2F_{n+1}+F_{n+4})(2F_{n+4}-F_{n+1})F_{n+1}F_{n+4}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/7/f17106fce23373c9626f977b932c78e882.png)
Поделим это равенство на
![${F^4}_{n+1}$ ${F^4}_{n+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/7/0a765ab75bf441c25797fd4ed2ce984082.png)
и обозначим
![$x=2{\frac{F_{n+4}}{F_{n+1}}}$ $x=2{\frac{F_{n+4}}{F_{n+1}}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/6/9b6cc7cd99939a5197adc24ff5150fc882.png)
,
![$y={\frac{4S}{{F^2}_{n+1}}}$ $y={\frac{4S}{{F^2}_{n+1}}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/f/0afb656a1f4564ce1f906bc53409473482.png)
.
Тогда
![$y^2=x^3+3x^2-4x=x(x-1)(x+4)\qquad(1)$ $y^2=x^3+3x^2-4x=x(x-1)(x+4)\qquad(1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/7/a472f2faedc346ae5726f4879938a12782.png)
. На этой эллиптической кривой три очевидные рациональные точки
![$(0,0),(1,0),(-4,0)$ $(0,0),(1,0),(-4,0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/0/d301635c6f26075da114070b178359b782.png)
второго порядка и
![$\infty$ $\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/a/f7a0f24dc1f54ce82fecccbbf48fca9382.png)
. Дискриминант её
![$\bigtriangleup=2^8{5^2}$ $\bigtriangleup=2^8{5^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/e/e7e2479c8245f62c40f4e6e514fdfe2382.png)
, поэтому можно провести редукцию по модулю 7.
![$E_7{(Z_7)}$ $E_7{(Z_7)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/d/2eda9438ea24c304e5baf7657474a90982.png)
содержит четыре точки
![$(0,0),(1,0),(3,0),\infty$ $(0,0),(1,0),(3,0),\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/5/fc522981369e6ac998359d3e3bf0bef382.png)
. Из теоремы Лутц-Нагеля - на кривой четыре рациональные точки конечного порядка.
Докажем, что ранг
![$(1)$ $(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d343a5beaabde2410ecf9f826344ed8382.png)
равен нулю и, следовательно, рациональных точек бесконечного порядка на ней нет.
Действуем по схеме, которая приводит к успеху в силу достаточной простоты
![$(1)$ $(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d343a5beaabde2410ecf9f826344ed8382.png)
.
Вводим еще одну эллиптическую кривую
![$y^2=x^3-6x^2+25x$ $y^2=x^3-6x^2+25x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/e/bfe53cd7c627b44a0b8b267e7a3e6eab82.png)
. Коэффициенты её вычисляются так:
![$-6=-2\cdot{3}, 25=3^2-4\cdot{(-4)}$ $-6=-2\cdot{3}, 25=3^2-4\cdot{(-4)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/0/ea0c149a38b194502a73dd9809c0f74b82.png)
,
( т.е.
![$a_1=-2a,b_1=a^2-4b$ $a_1=-2a,b_1=a^2-4b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/c/55cabd5abac2d714fec5ccc34b53a01282.png)
).
Выписываются два уравнения для первой и второй кривой.
1.
![$dt^2=d^2{p^4}+3dp^2{q^2}-4q^4\qquad(2)$ $dt^2=d^2{p^4}+3dp^2{q^2}-4q^4\qquad(2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/8/3489a681dcce904d139d32f21228fffe82.png)
2.
![$DT^2=D^2{P^4}-6DP^2{Q^2}+25Q^4\qquad(3)$ $DT^2=D^2{P^4}-6DP^2{Q^2}+25Q^4\qquad(3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/6/3263b4866a06f35e9216967fa63dd0ee82.png)
Коэффициенты берутся из уравнений кривых.
Формула для ранга кривой
![$(1)$ $(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d343a5beaabde2410ecf9f826344ed8382.png)
. Пусть
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
- ранг, тогда
![$2^r=\frac{{N_1}\ctod{N_2}}{4}$ $2^r=\frac{{N_1}\ctod{N_2}}{4}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/2/ce2be9456f2842c67e395de2c2c831fa82.png)
, где
![$N_1$ $N_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/d/3bd1d510559f062f1989f670d3aad98d82.png)
количество целых
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
,
свободных от квадратов, делящих
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
(коэффициент при
![$q^4$ $q^4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/3/f03761c6f5eea13fb5bc8e554c5551da82.png)
) и дающих целые нетривиальные решения
![$q,p,t$ $q,p,t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/1/6e169a733acc3423f0e3291dd5e2c68382.png)
для
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
, а
![$N_2$ $N_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/1/511e23eff4a266585051aad23317e9f682.png)
количество целых
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
,
свободных от квадратов, делящих
![$25$ $25$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/c/7acc185115b9ffabc044e2079b245b8d82.png)
(коэффициент при
![$Q^4$ $Q^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/9/6e910030fc8df44de6524633b9e901ec82.png)
) и дающих целые нетривиальные решения
![$Q,P,T$ $Q,P,T$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/4/ba431c666f9286fe93dd3f82af09640682.png)
для
![$(3)$ $(3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/3/cf330257519e06f13c2ecab5e25c6d2a82.png)
.
Рассмотрим
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
. Варианты для
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
:
![$d=\pm{1},\pm{2}$ $d=\pm{1},\pm{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/e/0de8a6ba007c2c2860c8d7863a6af77c82.png)
При
![$d=1$ $d=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/f/4cfe92e893a7541f68473ecb0841923782.png)
есть решение
![$q=1,p=1,t=0$ $q=1,p=1,t=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/c/eccbbc40910d25e9b4ced029dc68607e82.png)
. При
![$d=-1$ $d=-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/4/76426e973402f94510810d22d7b7915b82.png)
тоже есть решение
![$p=0,q=1,t=2$ $p=0,q=1,t=2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/8/3c823483ccf0ee81b1c59137ae21b90782.png)
. Два нужных значения
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
уже имеем.
При
![$d=2$ $d=2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/7/e675da7c7f7c3d89bc6087aab1186a2782.png)
уравнение
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
выглядит так:
![$2t^2=4p^4+6p^2{q^2}-4q^4$ $2t^2=4p^4+6p^2{q^2}-4q^4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/f/daf36096f0eb74a2c394b689e42b929d82.png)
. Сокращая на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
имеем
![$t^2=2p^4+3p^2{q^2}-2q^4$ $t^2=2p^4+3p^2{q^2}-2q^4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/7/1f751586b17d87d6afaab0843b502e0082.png)
.
Без ограничения общности можно считать, что
![$gcd(p,q)=1$ $gcd(p,q)=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/8/ea853537e6f541affed2c8a9b6947cb882.png)
. Сравнивая левую и правую части уравнения по модулю
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
, видим, что уравнение целых решений не имеет.
При
![$d=-2$ $d=-2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/9/a89c8575a3a2063b407f96b2063a1ee482.png)
получаем уравнение
![$t^2=-2p^4+3p^2{q^2}+2q^4$ $t^2=-2p^4+3p^2{q^2}+2q^4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/a/4daa5e18ed1320778cdb95664389b7ee82.png)
. Оно не имеет решений по той же причине, что и предыдущее. Значит,
![$N_1=2$ $N_1=2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/3/a23b34822f0fd3fe1b757aa64cdecd8882.png)
.
Рассмотрим
![$(3)$ $(3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/3/cf330257519e06f13c2ecab5e25c6d2a82.png)
. Варианты для
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
:
![$D=\pm{1},\pm{5}$ $D=\pm{1},\pm{5}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/4/9b4bdc5be61638f85084c675241b34ac82.png)
.
При
![$D=1$ $D=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/e/6de1285a56e4bce59ddb210121380bb782.png)
есть решение
![$P=0,Q=1,T=5$ $P=0,Q=1,T=5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/f/16fe1be3454c6396281f543e2ec28ed482.png)
, при
![$D=-1$ $D=-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/9/9d9dbfd1380ae03366697fad935b46d182.png)
и
![$D=-5$ $D=-5$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/2/b4228235b5dff62c0559b68217db05c682.png)
уравнение не имеет решений, поскольку левая часть меньше нуля, а правая больше.
При
![$D=5$ $D=5$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/0/3d02f69efa7943d02e4d46635b99fa0382.png)
решение есть
![$P=Q=1, T=2$ $P=Q=1, T=2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/0/e80496c06fdb188bb8f0810bfcf7bde782.png)
. Таким образом,
![$N_2=2$ $N_2=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/7/de790fc4c212f79b02a2c30a3fe6fdfb82.png)
. Используя формулу для ранга
![$2^r=1$ $2^r=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/c/edcee1d22eb58b9b2bc120f09c8cb92f82.png)
. Ранг
![$r=0$ $r=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/0/1b0129678603dff06573a74c88866a5a82.png)
, следовательно,
рациональных точек бесконечного порядка на кривой нет.
Конечно, такие решения технически возможны, когда немного простых составляющих у коэффициентов кривых ну и т.д. и т.п.
Задача мной специально подобрана, чтобы такой расчет можно было провести. И были пожелания о проведении такого расчета.
Проще, обратиться к PARI/GP, если, конечно, он есть под рукой.
Код:
gp > ellanalyticrank(ellinit([0,3,0,-4,0]))[1]
%1 = 0
Остается проверить точки
![$(0,0),(1,0),(-4,0)$ $(0,0),(1,0),(-4,0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/0/d301635c6f26075da114070b178359b782.png)
.
![$x=2{\frac{F_{n+4}}{F_{n+1}}}$ $x=2{\frac{F_{n+4}}{F_{n+1}}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/6/9b6cc7cd99939a5197adc24ff5150fc882.png)
.
![$(0,0)$ $(0,0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/6/e660f3b58b414524ec6f82741102107382.png)
соответствует
![$F_{n+4}=0$ $F_{n+4}=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/7/b47636a02afff126d4d4405695bbc09082.png)
.
![$(1,0)$ $(1,0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/8/7c86bb093e466f9ed0dfc9620485830882.png)
соответствует
![$2F_{n+4}=F_{n+1}$ $2F_{n+4}=F_{n+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/b/adb0dd8a14cb317726f20bdffc0c137c82.png)
.
![$(-4,0)$ $(-4,0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/a/fca51bffe1802c4e14f6708890179e7882.png)
соответствует
![$F_{n+4}=-2F_{n+1}$ $F_{n+4}=-2F_{n+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/3/4f3a93262c92d7b8c4e2c3a2d2b11ed082.png)
.
Все три ситуации невозможны. Мы пришли к противоречию с первоначальной посылкой о том, что такой четырехугольник вписан в окружность и имеет рациональную площадь.
Доказательство завершено.