Нигде не плотное в метрическом мощности континуум

[Someone]

Счётное метрическое пространство, в котором всякое нигде не плотное множество не более чем счётно? Спать надо ночью.

[xmaister]

Someone в сообщении #620905 писал(а):

Счётное метрическое пространство

Так пространство $X$ континуальное же по условию. Я беру шар $B_{\varepsilon}(x)\subset X$ в котором всякое открытое континуально. Определяю шар $B_0\subset B_{\varepsilon}(x)$, такой что $B_{\varepsilon}(x)\setminus\overline{B_0}$- континуально. Далее пологаю, что определил шары $B_0,B_1\ldots B_n\subset B_{\varepsilon}(x)$, такие что $B_{\varepsilon}(x)\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{n}\overline{B_i}$- континуально и определяю $B_{n+1}\subset B_{\varepsilon}(x)$ с таким же свойством. Если было бы, что $C=\overline{B}_{\varepsilon}(x)\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\overline{B_i}$- несчетным, то в предположении КГ мы бы всегда построили нигде не плотное множество мощности континуум. Я имел в виду, без континуум-гипотезы удастся ли построить такое пространство $X$? А за пример спасибо, разорбрался.

[Someone]

Вероятно, я Ваше предыдущее сообщение неправильно понял.
А почему $C$ у Вас нигде не плотно?
Кроме того, почему Вы думаете, что пересечение множеств мощности континуум имеет такую же мощность? Оно вполне может оказаться даже пустым.

[xmaister]

Someone в сообщении #621233 писал(а):

А почему $C$ у Вас нигде не плотно?

Действительно, из такого построения не следует нигде не плотность $C$. Я подумаю ещё как сделать его типа канторовского.

[Someone]

Чтобы получилось нигде не плотное множество, нужно выбирать центры выбрасываемых шаров в точках некоторого счётного всюду плотного множества. Чтобы получилось "типа канторовского", нужно устроить такую же ветвящуюся систему вложенных замкнутых множеств, диаметры которых стремились бы к нулю, как при построении канторовского множества на отрезке. Если Вы всё это построение организуете, то докажете утверждение для полного метрического пространства. Может быть, в условии случайно пропущена полнота?

[xmaister]

Да, уточнил у лектора, полнота пропущена была.

[Someone]

Ну ничего, зато узнали неожиданные вещи.