Нигде не плотное в метрическом мощности континуум

[xmaister]

Требуется доказать, что, если $(X,d)$- сепарабельное метрическое пространство мощности континуум, то в нём существуе континуальное нигде не плотное множество.

Мои соображения: Т.к. $(X,d)$- сепарабельно, то существует счетная база, откуда следует, что $(X,d)$- Линделёфово, значит в $X$- континуальное множество $K$ точек конденсации. Если $K$- нигде не плотно, то задача решена. Пусть $K$- плотно в $B_{\varepsilon}(x)$- произвольном $\varepsilon$- шаре. Тогда всякое открытое подмножество $B_{\varepsilon}(x)$- имеет мощность континуума. Положим, что $B_0$- произвольный шар строго принадлежащий $B_{\varepsilon}(x)$. Пусть определены $B_0,\ldots ,B_n$, сторого лежащие в $B_{\varepsilon}(x)$ с центрами в точках счетного всюду плотного множества, такие что $B_{\varepsilon}(x)\setminus \cup\limits_{i=1}^{n}\overline{B_i}$ не пусто, тогда мы можем определить шар $B_{n+1}$, который будет удовлетворять исходному требованию. Положим, что $D=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}B_i$, тогда $C=B_{\varepsilon}(x)\setminus D$.

Вопрос: Будет ли $C$ иметь мощность континуума, если будет, то как это показать?

[Профессор Снэйп]

А что значит "нигде не плотное"?

[xmaister]

Значит, что оно не плотно ни в каком шаре или, что эквивалентно, замыкание имеет пустую внутренность.

-- 18.09.2012, 13:46 --

Я не догоняю, какую ещё консрукция нигде не плотного множества могла бы подойти?

[CptPwnage]

Может что-то похожее на канторово множество..

[xmaister]

CptPwnage, я и делал похожее на канторово...

[g______d]

Возьмем стандартное канторово множество $C\subset [0;1]$ и индуцируем на него метрику из $\mathbb R$. Вроде бы оно будет полным, континуальным и сепарабельным. Неужели в нем есть континуальное нигде не плотное подмножество?

[xmaister]

Мне не очевидна сепарабельньсть.

[g______d]

Замкнутое подмножество сепарабельного метрического пространства всегда сепарабельно, разве нет?

[mihailm]

g______d в сообщении #620595 писал(а):

Замкнутое подмножество сепарабельного метрического пространства всегда сепарабельно, разве нет?

это утверждение насколько помню есть в Колмогорове Фомине

[g______d]

Хотя в моем случае, видимо, действительно есть: если канторово множество представить как множество последовательностей из 0 и 2 (в троичной записи), то искомым подмножеством будет множество последовательностей из 0 и 2, в котором на всех четных позициях стоят нули.

-- 18.09.2012, 19:29 --

mihailm в сообщении #620622 писал(а):

это утверждение насколько помню есть в Колмогорове Фомине

Да, оно и доказывается несложно.

[Someone]

g______d в сообщении #620546 писал(а):

Возьмем стандартное канторово множество $C\subset [0;1]$ и индуцируем на него метрику из $\mathbb R$. Вроде бы оно будет полным, континуальным и сепарабельным. Неужели в нем есть континуальное нигде не плотное подмножество?

xmaister в сообщении #620588 писал(а):

Мне не очевидна сепарабельньсть.

Концы выброшенных интервалов образуют счётное всюду плотное подмножество в $C$.

g______d в сообщении #620595 писал(а):

Замкнутое подмножество сепарабельного метрического пространства всегда сепарабельно, разве нет?

Да, даже и не замкнутое. Сепарабельное метрическое пространство имеет (не более чем) счётную базу. Пересекая элементы этой базы с подмножеством, получим (не более чем) счётную базу на подмножестве. Выбирая в непустых элементах этой базы по точек, получим (не более чем) счётное всюду плотное множество.

g______d в сообщении #620624 писал(а):

Хотя в моем случае, видимо, действительно есть: если канторово множество представить как множество последовательностей из 0 и 2 (в троичной записи), то искомым подмножеством будет множество последовательностей из 0 и 2, в котором на всех четных позициях стоят нули.

Имеется в виду, нигде не плотное подмножество континуальной мощности? Да, верно. А если Вы на чётных позициях будете писать фиксированную последовательность нулей и двоек, то получите целый континуум таких подмножеств. Причём, все они замкнутые и попарно не пересекающиеся, и покрывают всё $C$.

xmaister в сообщении #620350 писал(а):

Требуется доказать, что, если $(X,d)$- сепарабельное метрическое пространство мощности континуум, то в нём существуе континуальное нигде не плотное множество.

Вряд ли это можно просто так доказать. Тем более, что в предположении континуум-гипотезы на отрезке $[0,1]$ существует всюду плотное подмножество $X$ мощности континуум, которое с каждым нигде не плотным подмножеством отрезка пересекается по не более чем счётному множеству (К.Куратовский. Топология, том 1. "Мир", Москва, 1966. Глава 3, § 40, пункт VII). Можно ли построить такое $X$ без континуум-гипотезы, не знаю, но наличие подобных примеров означает, что требуемое Вам утверждение неверно по меньшей мере в предположении континуум-гипотезы.

[xmaister]

Не понял, как такой пример показывает, что в предположении КГ исходное утверждение не верно? На $[0,1] же есть континуальное нигле не плотное мнодество, этого достаьочно.

[Someone]

Вот в том $X$, которое строится, всякое нигде не плотное подмножество не более чем счётно. А само $X$ есть сепарабельное метрическое пространство мощности континуум.

[xmaister]

Хорошо, а можно ли доказать, что то $C$, которое я построил хотя бы несчетно?

[xmaister]

Туплю, если было бы можно то в предположении КГ всякое такое пространство имело бы континуальное нигде не плотное. А есть ли примеры счетного такого множества $C$?