Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, прошу оценить полученный результат по стереометрии.
Рассматривается произвольный выпуклый многогранник.

$n$ - количество вершин многогранника,
$m$ - количество граней многогранника,
$p$ - количество ребер многогранника,
$\alpha_i$ - телесный угол при $i$-ой вершине,
$\beta_j$ - двугранный угол при $j$-ом ребре.

Эти величины связывает следующее соотношение:

$(m-2)2\pi=\sum{\beta_j}-\sum{\alpha_i}$

Проверил для правильного тетраэдра и куба, вроде все работает.

[migmit]

То ли у меня лыжи не едут... куб: слева $(6-2)\cdot2\pi=8\pi$, справа первая сумма равна $12\cdot\frac\pi2=6\pi$, вторая - $8\cdot\frac\pi2=4\pi$. Или я совсем в маразме?

[Побережный Александр]

У вас неверно записан двугранный угол при ребре. Двугранный угол равен удвоенному линейному углу.

[Aritaborian]

Побережный Александр в сообщении #604488 писал(а):

Двугранный угол равен удвоенному линейному углу.

С какого перепугу? У куба двугранные углы равны пи пополам, как может быть иначе?

[ewert]

Побережный Александр в сообщении #604488 писал(а):

Двугранный угол равен удвоенному линейному углу.

Ага. А трёхгранный -- утроенному, ...

[Mathusic]

migmit в сообщении #604481 писал(а):

То ли у меня лыжи не едут... куб: слева $(6-2)\cdot2\pi=8\pi$, справа первая сумма равна $12\cdot\frac\pi2=6\pi$, вторая - $8\cdot\frac\pi2=4\pi$. Или я совсем в маразме?

Всё корректно.

ewert в сообщении #604511 писал(а):

Ага. А трёхгранный -- утроенному, ...

Какому из ?

[gris]

Побережный Александр, двугранный измеряется, всё-таки, одним линейным углом.
То есть в Вашу формулу надо добавить коэффициент 2.

$$(m-2)2\pi=2\sum{\beta_j}-\sum{\alpha_i}$$

Тогда для многогранников, имеющих только трёхгранные углы, формула справа даёт разность между удвоенной суммой всех двугранных углов и суммой всех трёхгранных, что равно $n\pi$, так как величина телесного трёхгранного угла на пи меньше суммы двугранных, а каждый двугранный входит ровно в два телесных угла при вершине.

Таким образом, Ваша формула верна, если $2m-4=n$.
Для куба $2\cdot 6-4=8$
Для тетраэдра $2\cdot 4-4=4$
Для треугольной призмы $5\cdot 6-4=6$

И тут гениальная догадка. Если из каждого вершины выходит три ребра, связывающих две вершины, то для наших многогранников $p=1.5n$. Подставляя в формулу Эйлера, получим: $n-1.5n+m=2$ или $2m-4=n$.

Ура! Для многогранников, имеющих только трёхгранные угла, Ваша формула верна.
Насчёт остальных не возьмусь судить.

Но вот возьмём правильную четырёхугольную пирамиду и отошлём её вершину подальше. У неё 5 граней. Восемь двугранных углов почти по $\pi/2$, четыре телесных при основании почти по $\pi/2$. И один телесный при вершине почти нулевой. Баланс $6\pi=6\pi$. Сходится.

[Mathusic]

Верна, например, вот такая формула для выпуклых многогранников:

$$\sum \limits_{i}{l_i} = 2\pi (B-2)$$

Где суммирование ведётся по всем линейным углам при вершинах (у куба, например, их $8 \times (3 \cdot \frac{\pi}{2})$)

[Побережный Александр]

Зайдите на Википедию
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EB% ... 3%E3%EE%EB

Википедия утверждает:
Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.

Хотелось бы получить замечания по конкретней.
Я извиняюсь, если не совсем корректно формулирую мысль. Надо ли еще уточнить что-нибудь?

[gris]

если в стерадианах, то, конечно, Ваша формула верна без двойки. Идею доказательства я привёл, надо только распространить на многогранные углы. Вполне возможно, что имеется более простое доказательство, использующее какую-нибудь проекцию изнутри на сферу.

[Mathusic]

gris в сообщении #604631 писал(а):

если в стерадианах, то, конечно, Ваша формула верна без двойки.

Ага, во всяком случае я нашёл доказательство.
Запишу в более дружественных обозначениях

$$\boxed {2 \pi (\Gamma - 2) = \sum \limits_{i=1}^{P}{\omega_i}-\sum \limits_{j=1}^{B}{\Omega_j}}$$

Откуда сразу ясно, "кто есть кто": $\omega_i$ и $\Omega_j$ - телесные углы при рёбрах и вершинах соответственно.

Побережный Александр, будет интересно посмотреть на ваше авторское д-во.

(Оффтоп)

Ну, а если, вдруг, у вас его нет, то приоритет предлагаю поделить напополам -- плюс grisу чекушку отвалим по справедливости

[Побережный Александр]

Mathusic в сообщении #604739 писал(а):

Побережный Александр, будет интересно посмотреть на ваше авторское д-во.

К сожалению, законченного доказательства этого утверждения не имею, так некоторые наброски. С удовольствием поделюсь приоритетом, если предъявите доказательство.

[Munin]

Побережный Александр в сообщении #604743 писал(а):

К сожалению, законченного доказательства этого утверждения не имею, так некоторые наброски. С удовольствием поделюсь приоритетом, если предъявите доказательство.

Если у вас законченного доказательства нет, то делиться вам нечем: приоритет и так целиком не ваш. Вы только задачу поставили.

[Побережный Александр]

Задача уже решена, осталось доказать, что решение правильное.

[gris]

К сожалению, нам всем придётся удовлетворится тем, что мы каждый по-своему впервые открыли для себя давно известный факт. В этом и есть прелесть занятий математикой. Ради этого стоит развивать у себя склероз, чтобы всё время открывать то теорему Пифагора, то свойство средней линии треугольника (это я про себя только ). Вчера, увидев теорему, я не поверил в её справедливость и стал подыскивать контрпримеры. Впрочем, вспомнил, что что-то такое читал то ли в кванте, то ли у Пойа, то ли у Адамара.
Сейчас у школьников не в чести телесные углы, а я (или это не я) помню они были популярны. Как и обратные тригонометрические функции и секансы. .
Вообще-то формула Эйлера прямо таки бросается в глаза в формулировке. А свойство многогранных углов известно каждому, кто читал что-то о сферической геометрии и сумме углов сферического треугольника (многоугольника). Ну а расписать формулу Эйлера как-то обозначив количество трёхгранных, четырёхгранных и прочих углов не составляет труда.
Я только в одном имею некоторое затруднение. Общепринято, что двугранный угол измеряется всё-таки линейным углом. Ну как-то естественно считать, что угол между перпендикулярными плоскостями это $\pi/2$. А лвугранный угол воспринимается как угол между плоскостями, как угол наклона грани к основанию и т.д. И в известной формуле величины трёхгранного угла $\Omega=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ двугранные углы измеряются линейными.
Но тогда встаёт вопрос: а можем ли мы к радианам прибавлять стерадианы? С одной стороны, это величины безразмерные, с другой в системе СИ это разные единицы.

Пожалуй, тут только munin может проконсультировать.