Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника

[Побережный Александр]

Разве я не правильно посчитал эйлерову характеристику? Подскажите, где я ошибся...

[Mathusic]

Да, формула снова верна. Если внимательно проследить доказательство (вообще его проследить ), то можно заметить, что формула Эйлера используется в самом конце. До этого момента рассуждения справедливы для любых многогранников и формула такая, естественно:

$$\boxed {2 \pi (P-B) = \sum \limits_{i=1}^{P}{\omega_i}-\sum \limits_{j=1}^{B}{\Omega_j}}$$

(а эйлерова характеристика вообще в формуле не участвует и вводится искусственно)

*Замечание.
Все "экзотические" телесные многогранные и двугранные углы считаются таким образом: просто берём совокупность рёбер при вершине, натягиваем на неё обычный угол и считаем для него.
Как это выглядит на примере - можно посмотреть для той же выше упомянутой рамки.
Помойму, так даже лаконичней cчитать "экзотические" углы. Хотя если их считать вторым образом (то есть, например, если мы находимся внутри прямого двугранного угла, то внешнее пространство, им ограничиваемое есть $4\pi - \frac{\pi}{2}$), то формула всё равно должна оставаться верной.

[gris]

Побережный Александр, обратите внимание на такую штуку. Возьмём Ваш куб с ямкой. Как тело, ограниченное некоторой поверхностью, куб с ямкой гомеоморфен шару, а сама поверхность сфере. Но если посчитать эйлерову характеристику, то Вы получили 3. Если же теперь мы слегка приутопим внутренний кубик-ямку так, чтобы появились дополнительные четыре ребра, а грань с "дыркой" превратилась в 4 трапеции, то эйлерова характеристика становится равной 2. Хотя оба тела, очевидно, гомеоморфны друг другу.
Вот тут и встаёт вопрос о том, является ли Ваш куб многогранником. Можно ли считать гранью "кольцеобразный" квадрат с квадратной "дыркой" и как корректно вести подсчёт эйлеровой характеристики в подобных случаях.
Я сам вместо куба с дыркой рассматривал куб с поставленным кубиком на его грань, что, по-моему, совершенно гомотопично

[Mathusic]

gris в сообщении #605227 писал(а):

Вот тут и встаёт вопрос о том, является ли Ваш куб многогранником.

Да, не является.
"Экзотическая грань"-квадратный "бублик" на плоскости -- не есть грань, по скольку не является многоугольником -- замкнутой плоской ломаной.
Но самое интересное, что формула опять верна и для таких "экзотических" многогранников

[gris]

Я тут вижу некую аналогию с треугольником и трапецией. В некоторых случаях можно считать треугольник вырожденной трапецией, где одно из оснований сжалось в точку. Многие формулы и теоремы для трапеции "работают" и для треугольника. И подобное рассуждение даже может дать остроумное решение некоторых задач. Но нужно внимательно следить за тем, чтобы не распространить эту аналогию на случаи, когда она даёт неверные подсказки.

То же и с многогранниками. Когда то в детстве мне попала в руки книга про модели многогранников. Я даже склеил (в хорошем смысле) додекаэдр и на всю жизнь усвоил принцип: никаких развёрток. Только поклапанное соединение. Но картинки звездчатых многоугольников запали в душу. Так вот существует разный подход в вычислении ЭХ для многогранников этого типа. И можно придумать примеры, когда возникает вопрос, например, можно ли считать одной гранью многоугольники, лежащие в одной плоскости. Можно ли плоский многоугольник разбить фиктивными рёбрами (с телесным двугранным углом в $2\pi$ при каждом) так, чтобы многогранник стал многогранником в классическом его определении.

Я думаю, что в более многомерных случаях ситуация ещё больше усложняется. Отказавшись вообще от граней и прямизны рёбер, мы получим графы с их большой содержательной теорией. А что практически даёт рассмотрение граней? Наверное, что-то даёт, но это уже за пределами моего любительского понимания.

[Munin]

Как многоугольник можно триангулизовать, так и более многомерное тело, типа многогранника, можно разбить на симплексы (симплекс - общее название для отрезка, треугольника, тетраэдра, $n$-мерного $n+1$-эдра). То, что получается, называется симплектический комплекс. Для него все теоремы топологии выполняются в точности, собственно, это одна из моделей топологии, удобная для теоретического изучения. Например, для 3-мерного многогранника, превращённого в симплектический комплекс, точно выполняется, что эйлерова характеристика равна $2-2g,$ где $g$ - число дырок, как в бублике.

Есть хорошая книжка (точнее, пара книжек, логически двухтомник)
Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии.
Прасолов. Элементы теории гомологий.

[Mathusic]

Эм. Это всё очень интересно, но прямой привязки к предыдущим постам не вижу.
Ну, и ладно -- дело сделано, будем ждать Александра Побережного, который нам опять очередную формулу подкинет

gris в сообщении #605309 писал(а):

То же и с многогранниками. Когда то в детстве мне попала в руки книга про модели многогранников. Я даже склеил (в хорошем смысле) додекаэдр и на всю жизнь усвоил принцип: никаких развёрток.

А мы на "технологии" в школе в 5-6 классах занимались подобными вещами -- клеили правильные тела

gris в сообщении #605309 писал(а):

усвоил принцип: никаких развёрток. Только поклапанное соединение.

Это как? Обычно же так и делается -- сначала "чистая" развертка, а потом прикидывается, где нужно сделать запуски материала, чтобы их приклеивать к смежным граням. Это то или не?

[gris]

Вначале вычерчиваются все грани по отдельности с клапанами вдоль всех сторон (будущих рёбер), потом грани склеиваются клапан к клапану. Получается очень жёсткая конструкция. Лучше заготовки распечатывать на картоне на принтере. Но это дело сродни вышиванию. Не каждому дано. Я даже икосаэдр не потянул

[Mathusic]

gris в сообщении #605396 писал(а):

Вначале вычерчиваются все грани по отдельности с клапанами вдоль рёбер, потом грани склеиваются клапан к клапану.

Если я правильно понимаю, то так делать неудобно. Всегда делал, чтобы клапан клеился к тыльной стороне грани.

gris в сообщении #605396 писал(а):

Получается очень жёсткая конструкция.

По предыдущей технологии -- тоже, правда, да, это довольно трудоёмкая вещь.

gris в сообщении #605396 писал(а):

Лучше заготовки распечатывать на картоне на принтере.

Хе. Ну, когда мы делали модели в школе, то про такие адвансированные технологии еще не знали. Всё делалось руками (циркуль+линейка рулили ) - развертка наносилась на картон (причём обычно самый лучший был -- из под коробок с конфетами :), покупной цветной -- слишком малой площади и непрочный), намечались клапаны, аккуратно нужно было продавить линии скиба по рёбрам -- и можно было клеить

gris в сообщении #605396 писал(а):

Но это дело сродни вышиванию. Не каждому дано. Я даже икосаэдр не потянул

Вот это правда. Малейшая неточность на начальной стадии превращалась в ужасные перекосы на конечной.
Одним из домашних заданий, как раз было склеить икосаэд + звёздчатый икосаэдр (на каждую грань лепился тетраэдр) -- получались красивейшие вещи! (Модель нужно было покрыть ещё цветным лаком, рекомендовался при этом золотой или серебряный металик)
Так что неперекошенные вещи получились только у нескольких человек из класса (втч у меня )

(Оффтоп)

Ну а что случилось дальше с моим икосаэдром, это печальная, но совсем уже другая история

[Munin]

gris
Чем плохи развёртки, пусть даже частичные?

[gris]

Рёбра получаются недостаточно жёсткие. Могут проминаться внутрь при неосторожном обращении. Особенно при больших двугранных углах. А при малых рёбра быстро протираются.

[Mathusic]

Munin в сообщении #605409 писал(а):

Чем плохи развёртки, пусть даже частичные?

Так... А что вы понимаете под "частичной" разверткой?. Это типа развертка, разрезанная на несколько кусков?
Тогда я запутался вообще, как gris делал

Выше описана вот такая "технология" -- к однокусковой развертке

(Она)

Приделываются к некоторым ребрам запуски картона для приклеивания, и всё -- можно клеить

[gris]

Да, можно сказать, что у меня тоже частичная развёртка,в которой каждая часть содержит только одну грань.

[Mathusic]

gris в сообщении #605414 писал(а):

Да, можно сказать, что у меня тоже частичная развёртка,в которой каждая часть содержит только одну грань.

Ааа. Так я и подумал. Понял только после сообщения Munin'a вашу технологию.
Как по мне -- так это сложней даже, чем при развертке из одного куска

(Оффтоп)

Тема явно уходит не туда

[Побережный Александр]

Здравствуйте, коллеги! Отсутствовал по уважительной причине.
Поскольку активно обсуждалась тема эйлеровой характеристики, хочется подробнее разобраться с ней.
Давайте начнем с определения многогранника. Ссылаться я буду на Википедию.
Там многогранник определяется так:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%ED%EE% ... D%ED%E8%EA

Если кратко, то многогранник — замкнутая поверхность, составленная из многоугольников.
В этом смысле, многогранником будет квадрат на плоскости с квадратной дыркой. Поскольку его можно составить из определенных многоугольников.
Другой пример многогранника объемный, это куб, у которого внутри есть кубическая полость, пустота.
Так как многогранники состоят из многоугольников, то всегда в наличии будет конечное число вершин многогранника, конечное число граней и конечное число ребер.
Поэтому логично вытекает появление эйлеровой характеристики.
Эйлер вводил ее по формуле $k=B+\Gamma-P$
Как и почему появилась такая формула сейчас не рассматривается. В любом случае это некоторая характеристика конкретного многогранника. Хотя бы из этих соображений эйлерова характеристика должна была присутствовать в моей формуле.
Насколько я понимаю, конкретное значение эйлеровой характеристики определяет фиксированный класс многогранников из общего их множества. Типа, если $k=2$, то многогранник выпуклый.
Поскольку предлагаемая формула претендует на всеобщность для многогранников, то она должна выполняться для всех многогранников. Поэтому, есть ли смысл обсуждать, гомеоморфен сфере многогранник или не гомеоморфен? Надо просто вычислить эйлерову характеристику и подставить в формулу. Где может понадобиться информация о его негомеоморфности сфере?