Связь между вершинами, ребрами и гранями многогранника

[Mathusic]

gris в сообщении #604799 писал(а):

Вчера, увидев теорему, я не поверил в её справедливость и стал подыскивать контрпримеры. Впрочем, вспомнил, что что-то такое читал то ли в кванте, то ли у Пойа, то ли у Адамара.

А я вам говорю, gris, приоритет будет за нами -- он будет за нами!

(Оффтоп)

Быть может, вы грешным делом подумали, что мы с Александром Побережным присвоим открытие полностью себе?
Конечно же нет! Мы включим и вас! (Александр Побережный не будет против, надеюсь )
История будет знать этот замечательный результат как (теорема) формула Побережного-Mathusic'a-gris'a.
Ну а что тут ваше фамилиё на последнем месте стоит, так, надеюсь, вы не сильно обидитесь.
Тут уж как традиция сложится в математике... Некоторые будут просто ссылаться на формулу Побережного, другие всегда будут называть ее формулой Побережного-Mathusic'a, ну а третьи вообще -- кратко и лаконично формулой gris'a как изначально первого справедливо заметившего, что в исходной формулировке перед первой суммой надо бы поставить двойку.
Ну, в общем, как с неравенством Коши — Буняковского — Шварца...

gris в сообщении #604799 писал(а):

Я только в одном имею некоторое затруднение.

gris в сообщении #604799 писал(а):

Но тогда встаёт вопрос: а можем ли мы к радианам прибавлять стерадианы?

Ну, даже если тут и испытывать такие затруднения, то посмотрите на предыдущую запись формулы -- в правой части стерадианы, в левой -- числа, тоже, стало быть, они -- стерадианы, значит. Всё сходится

[gris]

В формуле $\Omega=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ справа радианы, а слева стерадианы.
Если бы мы считали двугранный угол в стерадианах, то должны были бы записать $\Omega=\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}2-\pi$
Я тоже иногда считаю двугранный угол телесным углом и убеждён, что таковой угол, образованный двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, равен $\pi$ стерадиан. Но наименование безразмерных единиц часто опускается, и получается, что по умолчанию двугранный угол измеряется в радианах.

[Mathusic]

gris, по-моему, это обсуждение для другой темы.
Если мы в формуле можем указать каждой букве стерадиан она или просто радиан, то всё нормально.

[Munin]

gris в сообщении #604799 писал(а):

Пожалуй, тут только munin может проконсультировать.

Не, не могу :-) Хотя мне кажется, что прибавлять к телесным логичнее телесные, а выражение через двугранные - тяга к традиции и удобству привязки к простым знакомым понятиям планиметрии. Впрочем, и то и другое допустимо, раз они безразмерны.

[gris]

Munin, Вы, прямо, как ОН: телесное телесному, а богово, то есть духовное духовному.

[Munin]

Ну и параллели у вас :-)

[Mathusic]

Так, коль уж оговорился, то приведу набросок доказательства.
-----
1) Исходя из утверждения $\Omega=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ уже упомянутого для трёхгранного угла, доказываем аналог для $n$-гранного: $\Omega_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{\gamma_k}-(n-2)\pi$
2) Суммируем в выпуклом многограннике телесные многогранные углы по всем вершинам:

$$\sum\limits_{i=1}^{B}{\Omega_i}=\sum\limits_{i=1}^{B}{\mu_i}-\sum\limits_{i=1}^{B}{(\lambda_i-2)\pi}$$

Где $\mu_i$ - сумма линейных мер двугранных углов многогранного угла при вершине $i$
$\lambda_i$ - количество граней при $i$-ой вершине.
3) Преобразовываем каждую сумму справа и применяем формулу Эйлера $B-P+\Gamma=2$, ага
(Хотя можно этого не делать, а оставить просто так)

В итоге получаем

$$\boxed {2 \pi (\Gamma - 2) = \sum \limits_{i=1}^{P}{\omega_i}-\sum \limits_{j=1}^{B}{\Omega_j}}$$

Где $\omega_i$ и $\Omega_j$ - телесные углы при рёбрах и вершинах соответственно.

[Побережный Александр]

Утверждение доказано! Уважаемые Mathusic и gris с удовольствием делюсь с вами приоритетом.
А что дальше? Предлагаю на форуме сделать раздел "Достижения наших форумчан"

[Побережный Александр]

В условии рассматриваются только выпуклые многогранники. Но по моим прикидкам формула будет выполняться для любых многогранников, т.е и для не выпуклых. Просто будут присутствовать в формуле телесные углы больше, чем $2\pi$.

[Someone]

А вот это вряд ли. Я не проверял, но попробуйте рассмотреть многогранник в виде квадратной рамы (с "дыркой").

[Побережный Александр]

Уважаемый Someone, для квадратной рамы с дыркой все выполняется.
Привожу расчеты:

В (вершины)=16
Г (грани)=10
Р (ребро)=24

$(10-2)2\pi=(12\pi+8\pi+4(4\pi-\pi))-(8\frac{\pi}2+8\frac{3\pi}2)$

Двугранные углы заданы в стерадианах.

[gris]

Но вот давайте осторожно чуть-чуть опустим, вдавим вниз, "пустую" грань внутреннего параллелепипеда. Телесные и двугранные углы практически не изменятся, но количество граней увеличится на3, а количество рёбер на 4, то есть добавится 4 двугранных угла примерно по $2\pi$. Плоский прямоугольник с дыркой превратится в неплоское объединение четырех трапеций. Соотношение изменится.
Заодно и формула Эйлера пострадает.

+++ Или кто-то из нас некорректно её считает.

[Побережный Александр]

Эйлерова характеристика - это величина равная В+Г-Р.
Похоже, что моя формула работает только для многогранников, у которых эйлерова характеристика равна 2. А такими могут быть и не выпуклые многогранники.
А корректная такая постановка задачи: для каждой эйлеровой характеристики будет такая же формула, но немного модернизированная? Типа вместо двойки будет некий коэффициент.

[Побережный Александр]

И все таки хочу предложить формулу, распространяющуюся на все многогранники.
Она выглядит следующим образом.

Пусть эйлерова характеристика $k=\Gamma+B-P$
тогда будет выполняться:

$$\boxed{2\pi(\Gamma-k)=\sum\limits_{i=1}^{P}{\omega_i}-\sum\limits_{j=1}^{B}{\Omega_j}}$$

где $\omega_i$ - двугранные углы многогранника в стерадианах,
$\Omega_j$ - телесные углы при вершинах многогранника


Чтобы привести пример работы формулы, рассмотрел куб, у которого на одной из граней ямка в виде маленького куба.

$B=16$

$\Gamma=11$

$P=24$

$k=16+11-24=3$

$2\pi(11-3)=(16\pi+8(3\pi))-(8\frac{\pi}2+4(4\pi-\frac{\pi}2)+4(\frac{3\pi}2))$

В этом случае формула работает. К сожалению, я снова это не могу доказать. Сейчас это у меня как правдоподобная идея. В таком виде формула имеет более общий характер.

[Munin]

Побережный Александр в сообщении #605089 писал(а):

Чтобы привести пример работы формулы, рассмотрел куб, у которого на одной из граней ямка в виде маленького куба.

У любого многогранника, гомеоморфного сфере (то есть без дырок), эйлерова характеристика должна быть 2, а у вас 3.