Уравнения движения в теории Бранса-Дикке

[Munin]

Утундрий в сообщении #605359 писал(а):

Вообще-то два, но с биекцией.

Два метрических многообразия, но одно неметрическое, с двумя структурами, которые могут быть использованы как метрические.

[EvilPhysicist]

Утундрий, я так понимаю, тот способ, который вы описали дан в Л&Л. А можете порекомендовать ещё литературу, где уравнения движения ОТО выводятся из ПНД?

P.S. Аналогичная просьба ко всем кто знает такую литературу.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #606033 писал(а):

А можете порекомендовать ещё литературу, где уравнения движения ОТО выводятся из ПНД?

Мизнер, Торн, Уилер "Гравитация". Там аж несколько вариантов вывода уравнения Эйнштейна. И эта книга заслуживает того, чтобы стать вашим базовым учебником по гравитации, вместо ЛЛ-2.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #606043 писал(а):

Мизнер, Торн, Уилер "Гравитация". Там аж несколько вариантов вывода уравнения Эйнштейна.

Смотрел его, очень мельком, но нашёл только один вывод - второй том, параграф 17.1
Можете поточнее сказать где они.

[Munin]

Совсем рядом, Дополнение 17.2.

Зря мельком. Например, в 1 томе очень хорошо дифференциальная геометрия изложена.

[Утундрий]

EvilPhysicist в сообщении #606033 писал(а):

тот способ, который вы описали дан в Л&Л

Нет, в Л&Л дан способ, которым пытались пользоваться вы. А то что я тут привёл - свободная вариация на тему Хокинга-Эллиса.

Кстати, между делом, сочинил вопрос с подковыркой:

Как известно, сдвиг метрики вида $h_{\mu \nu } = \xi _{\mu ;\nu } + \xi _{\nu ;\mu } $ в первом порядке по $\xi $ эквивалентен простой замене координат. В связи с этим, "естественно" было бы ожидать, что при подстановке такого $h$ в формулу $\[ \delta \left( R \right) = - R_{\mu \nu } h^{\mu \nu } + h^{\mu \nu } _{} _{;\nu \mu } - h_\mu ^\mu ^{;\nu } _{;\nu } \] $ мы получим нуль. Однако, это не так. Найдите $\delta \left( R \right)$ и объясните его происхождение.

[EvilPhysicist]

Munin, нашёл, разбираю, спасибо.

Munin в сообщении #606073 писал(а):

Зря мельком. Например, в 1 томе очень хорошо дифференциальная геометрия изложена.

Я её больше по учебника дифференциальной геометрии разбирал.

Утундрий в сообщении #606074 писал(а):

Кстати, между делом, сочинил вопрос с подковыркой:

Честно говоря, не очень разбирался с тем, что вы привели. Но если так смотреть, то кривизна это скаляр, который меняется от точки к точке, когда мы сдвигаем метрику так как вы пишете, то и кривизну мы уже считаем кривизну в другой точке пространства. Ну а то, что она там может быть другая - не для кого не удивление.

[Утундрий]

Ну да, как раз линейный член ряда Тейлора от сдвига координат и вылезет. Жаль, я надеялся на небольшой когнитивный диссонанс.

[EvilPhysicist]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #606095 писал(а):

Жаль, я надеялся на небольшой когнитивный диссонанс.

Жаль вы не видели мой когнитивный диссонанс, когда на первом курсе в разговоре с одним из преподавателей у меня спросили откуда в законе Кулона берется $\cfrac{1}{\varepsilon} $.
Диалог был примерно такой:
П(Преподаватель): $\varepsilon$ в законе Кулона есть?
Я: Есть
П: А откуда берётся?
Я: Заряды в среде создают своё поле и на наш заряд действует другая сила
П: А если я заряд помещу между обкладками конденсатора, а потом туда налью диэлектрик, то у меня что, на него другая сила будет действовать?
Вот тут меня и накрыло

[Munin]

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #606099 писал(а):

П: А если я заряд помещу между обкладками конденсатора, а потом туда налью диэлектрик, то у меня что, на него другая сила будет действовать?

Жутко интересно, а что вы ответили, и какого "правильного" ответа ждал преподаватель? А то я уже два ответа нашёл, разных.

[EvilPhysicist]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #606142 писал(а):

Жутко интересно, а что вы ответили, и какого "правильного" ответа ждал преподаватель? А то я уже два ответа нашёл, разных.

Я ответил, что сила, действующая на заряд между пластинами конденсатора не зависит от того есть ли между его пластинами диэлектрик, а потом впал в рекурсию и ещё раза два прошёл по этому диалогу.

Преподаватель же ожидал ответа, что конденсатор это прибор который, который создаёт постоянную постоянное напряжение между пластинами и следовательно постоянное однородное поле внутри пластин. Если поместить в него диэлектрик, то конденсатору будет всё-равно на поле, созданное средой, и он будет накапливать заряд на пластинах до тех пор, пока напряжение на пластинах не станет нужным ему.

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #606033 писал(а):

А можете порекомендовать ещё литературу, где уравнения движения ОТО выводятся из ПНД?

Можете ещё посмотреть Дубровин, Новиков, Фоменко, Современная геометрия, т1. В главе 6 есть вывод.

[EvilPhysicist]

espe, нашёл. Спасибо!

[Munin]

(Оффтоп)

EvilPhysicist
Просто есть два разных варианта условия: если конденсатор был заряжен, а потом отключён, и если он всё время подключён к источнику постоянного напряжения. В первом случае, при заливании диэлектрика заряд сохраняется, напряжённость поля снижается в $\varepsilon$ раз, и на пробный заряд сила тоже снижается. Во втором случае, при заливании диэлектрика источник подаст на пластины увеличенный заряд, так что разность потенциалов сохранится, так что заряд пластин увеличится в $\varepsilon$ раз, поле останется количественно прежним, и сила на пробный заряд тоже прежней.

[EvilPhysicist]

Стал разбираться и понял, что не совсем понимаю как уравнения движения выводятся в ОТО.

Снова проблемы с членом $ \int d^4 x \sqrt{-g}g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} $. Везде стандартно говорится, что мы переходим к системе отсчёта, где $ \partial_\mu g^{\alpha\beta}=0$ и тогда не трудно получить $ \int d^4 x \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} =\int d^4 x \partial_\alpha w^\alpha =0 $, где $w^\alpha=g^{\mu\nu} \delta \Gamma_{\mu\nu}^\alpha-g^{\mu\nu} \delta \Gamma_{\mu\nu}^\nu $. Смущает, то, что такую систему мы можем выбрать в каждой точке, но не во всём пространстве. И соответственно, понятно, что уравнения Эйнштейна в таком выводе будут справедливы в каждой отдельно взятой точке пространства, но не очень понятно, почему мы можем применять их для всего пространства в целом.