Уравнения движения в теории Бранса-Дикке

[EvilPhysicist]

Не могу вывести уравнения движения в теории Бранса Дикке.
Беру действие в виде($ d\Omega =\sqrt{-g} d^4 x $, $c=1 $) $ S= \int d\Omega \left( R \varphi +L_m - \omega \cfrac{\partial_\alpha \varphi \partial^\alpha \varphi}{\varphi} \right) $ варьирую, получаю

$\delta S= \int d\Omega \delta R^{\mu\nu} \varphi g_{\mu\nu} + \int d\Omega \delta g^{\mu\nu} \left( \left(R_{\mu\nu} - \cfrac12 R g_{\mu\nu}\right)\varphi - T_{\mu\nu} + \cfrac12 \cfrac{\omega}{\varphi} \partial_\alpha \varphi \partial^\alpha \varphi g_{\mu\nu} \right) + \int d\Omega \delta \phi \left( R - \cfrac{\omega}{\varphi^2} \partial_\alpha \varphi \partial^\alpha \varphi + 2\omega \cfrac{\partial^\alpha(\partial_\alpha \varphi \sqrt{-g})}{\varphi \sqrt{-g}} \right)$

и на сколько я понимаю $\int d\Omega \delta R^{\mu\nu} \varphi g_{\mu\nu}=0 $, но тогда я не понимаю как получить правильные уравнения поля.

[EvilPhysicist]

Правильные уравнения поля (из статьи самих Бранса и Дикке)
$2 \cfrac{\omega}{\varphi} \square \varphi - \left(\cfrac{\omega}{\varphi^2} \right) \varphi^{,i}\varphi_{,i} +R =0 $, где $ \square \varphi=\varphi^{,i}_{~;i}=\cfrac{(\sqrt{-g} \varphi^{,i})_{,i}}{\sqrt{-g}} $ которое получилось
$R_{ij}-\cfrac12 g_{ij} R = \cfrac{1}{\varphi} T_{ij} + \left(\cfrac{\omega}{\varphi^2}\right)\left(\varphi_{,i} \varphi_{,j}-\cfrac12 g_{ij} \varphi_{,k}\varphi^{,k}\right) + \cfrac{1}{\varphi} \left( \varphi_{,i;j} - g_{ij} \square \varphi) $ Которое не получилось.

[EvilPhysicist]

Ладно, продолжаю сольное выступление.

Судя по всему дополнительные члены в уравнеии

EvilPhysicist в сообщении #604322 писал(а):

$R_{ij}-\cfrac12 g_{ij} R = \cfrac{1}{\varphi} T_{ij} + \left(\cfrac{\omega}{\varphi^2}\right)\left(\varphi_{,i} \varphi_{,j}-\cfrac12 g_{ij} \varphi_{,k}\varphi^{,k}\right) + \cfrac{1}{\varphi} \left( \varphi_{,i;j} - g_{ij} \square \varphi) $

получаются из члена $\int d^4 x \sqrt{-g}\varphi g_{\mu\nu} \delta R^{\mu\nu} $.

Его можно преобразовать $\int d^4 x \sqrt{-g}\varphi g_{\mu\nu} \delta R^{\mu\nu}= \int d^4 x \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} $, но что-то я не уверенв этом преобразовании.
Еслио но верно, то
$\int d^4 x \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \varphi \delta R_{\mu\nu}=\int d^4x\sqrt{-g} g^{\mu\nu} \varphi\left(\partial_\alpha \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-\partial_\nu \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha} \right)=$

$$=\int d^4 x \left[ \partial_\alpha \left(g^{\mu\nu} \sqrt{-g} \varphi \delta \Gamma_{\mu\nu}^\alpha \right) - \partial_{\alpha}(\varphi \sqrt{-g})\delta \Gamma^\alpha_{\mu\nu} g^{\mu\nu} - \partial_\alpha g^{\mu\nu} \varphi \sqrt{-g} \delta \Gamma^\alpha_{\mu\nu} - - \partial_\nu \left( g^{\mu\nu} \sqrt{-g} \varphi \delta \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} \right) + \partial_\nu ( \varphi \sqrt{-g}) g^{\mu\nu} \delta \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} +\partial_\nu g^{\mu\nu} \varphi \sqrt{-g} \delta \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} \right] $$

Члены с $ \partial_\alpha \left(g^{\mu\nu} \sqrt{-g} \varphi \delta \Gamma_{\mu\nu}^\alpha \right) $ и $ \partial_\nu \left( g^{\mu\nu} \sqrt{-g} \varphi \delta \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} \right)$ обратяться в нуль.

И останется
$\int d^4 x \sqrt{-g}\varphi g_{\mu\nu} \delta R^{\mu\nu} =\int d\Omega \left( \partial_\nu ( \varphi \sqrt{-g}) g^{\mu\nu} \delta \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} - \partial_{\alpha}(\varphi \sqrt{-g})\delta \Gamma^\alpha_{\mu\nu} g^{\mu\nu} \right) + +\int d^4 x \left(\partial_\nu g^{\mu\nu} \varphi \sqrt{-g} \delta \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} - \partial_\alpha g^{\mu\nu} \varphi \sqrt{-g} \delta \Gamma^\alpha_{\mu\nu} \right) $

Но это не очень похоже на то, что нужно.

[Munin]

Утундрий, вроде, любитель поварьировать действие для гравитации...

[Утундрий]

Дело в том, что вариация $\delta \left( {\sqrt g R} \right)$ содержит дивергентный член $w}^\alpha_{} _{,\alpha $, который резко перестаёт быть дивергентным, будучи на что-то помножен. Поэтому для вычисления $\delta \left( {\sqrt g R\varphi } \right)$ сперва следует получить явное выражение для $w^\alpha$.

Лично я предпочитаю пользоваться нижеследующим набором телодвижений.

Пусть мы имеем метрику $g_{\mu \nu } $ и вместе с ней весь второй том Л&Л с десятой главы и до упора. Рассмотрим некоторое симметричное тензорное поле $h_{\mu \nu }$, с которым можно проделывать всё, что обычно проделывают с подобного рода полями - в частности жонглировать индексами и ковариантно дифференцировать. Теперь заметим, что $\tilde g_{\mu \nu } \equiv g_{\mu \nu } + h_{\mu \nu } $ тоже похожа на метрику и, следовательно, отчего бы ей таковой и не быть? Только быть ей метрикой придётся не там, откуда мы начали, а в новом прекрасном месте, в другом совсем римановом пространстве.

Однако, другое-то другое, но ничто не в силах остановить человека, ежели тот желает вычислить разность вида: $\tilde \Im - \Im $, линейную по сдвигу часть которой назовём вариацией и обозначим посредством $\delta \left( \Im \right)$.

Несложно получить

$$\[ \delta \left( {g_{\mu \nu } } \right) = h_{\mu \nu } \] $$

$$\[ \delta \left( {g^{\mu \nu } } \right) = - h^{\mu \nu } \] $$

$$\[ \delta \left( {\sqrt g } \right) = \frac{1} {2}\sqrt g h_\alpha ^\alpha \] $$

$$\[ \delta \left( {\sqrt g g^{\mu \nu } } \right) = \sqrt g \left( {\frac{1} {2}g_{\alpha \beta } g^{\mu \nu } - \delta _\alpha ^\mu \delta _\beta ^\nu } \right)h^{\alpha \beta } \] $$

$$\[ \delta \left( {\Gamma _{\mu \nu }^\alpha } \right) = \frac{1} {2}\left( {h_{\mu ;\nu }^\alpha + h_{\nu ;\mu }^\alpha - h_{\mu \nu } ^{} ^{;\alpha } } \right) \] $$

$$\[ \delta \left( {R_{\beta \mu \nu }^\alpha } \right) = \frac{1} {2}\left( {h_\beta ^\alpha _{;\nu \mu } + h_\nu ^\alpha _{;\beta \mu } + h_{\beta \mu } ^{} ^{;\alpha } _{} _{;\nu } - h_\beta ^\alpha _{;\mu \nu } - h_\mu ^\alpha _{;\beta \nu } - h_{\beta \nu } ^{} ^{;\alpha } _{} _{;\mu } } \right) \] $$

$$\[ \delta \left( R_{\mu \nu } \right) = \frac{1} {2}\left( {h_\mu ^\alpha _{;\nu \alpha } + h_\nu ^\alpha _{;\mu \alpha } - h_{\mu \nu } ^{} ^{;\alpha } _{;\alpha } - h_\alpha ^\alpha _{;\mu \nu } } \right) \] $$

$$\[ \delta \left( R \right) = - R_{\mu \nu } h^{\mu \nu } + h^{\mu \nu } _{} _{;\nu \mu } - h_\mu ^\mu ^{;\nu } _{;\nu } \] $$

чего уже достаточно для получения вожделенного

$$\[ \delta \left( {\sqrt g R\varphi } \right) = \sqrt g R\delta \left( \varphi \right) + \sqrt g \left[ {\left( { - R_{\mu \nu } + \frac{1} {2}Rg_{\mu \nu } } \right)\varphi + \varphi _{;\mu \nu } - g_{\mu \nu } \varphi _{;\alpha }^{;\alpha } } \right]h^{\mu \nu } \] $$

[Munin]

Утундрий в сообщении #605075 писал(а):

Только быть ей метрикой придётся не там, откуда мы начали, а в новом прекрасном месте, в другом совсем римановом пространстве.

Индексы и производные по этому новому пространству надо как-то иначе обозначать?

[Утундрий]

Не думаю, что это необходимо. По сути в выкладках мы не покидаем отсчётного пространства, а волевое усилие направленное на построение той же самой геометрии, но по сдвинутой метрике, вполне символизирует тильда. Индексы растут из производных, производные бывают по координатам, а координаты и там и там одни и те же. Или вот ещё аргумент. Точная формула для связности

$$\tilde \Gamma _{\mu \nu }^\alpha = \Gamma _{\mu \nu }^\alpha + \frac{1}{2}\tilde g^{\alpha \beta } \left( {h_{\beta \mu ;\nu } + h_{\beta \nu ;\mu } - h_{\mu \nu ;\beta } } \right)$$

содержит свёртку "тамошних" индексов с "тутошними", что прозрачно намекает на их однородственность.

[Munin]

Частные-то производные-то по координатам, а ковариантные - нет, не только. Только мы захотим использовать $\tilde{g}$ (для жонглирования) или $\tilde{\Gamma}$ (для дифференцирования), как мы от "отсчётных координат" отступаем. Ах да, ещё антисимметричный символ $e$...

[EvilPhysicist]

Что-то меня тоже смущает те телодвижения, что вы, Утундрий, предлогаете.

Если форализовать

Утундрий в сообщении #605075 писал(а):

Рассмотрим некоторое симметричное тензорное поле $h_{\mu \nu }$, с которым можно проделывать всё, что обычно проделывают с подобного рода полями - в частности жонглировать индексами и ковариантно дифференцировать. Теперь заметим, что $\tilde g_{\mu \nu } \equiv g_{\mu \nu } + h_{\mu \nu } $ тоже похожа на метрику и, следовательно, отчего бы ей таковой и не быть? Только быть ей метрикой придётся не там, откуда мы начали, а в новом прекрасном месте, в другом совсем римановом пространстве.

То получится, что у нас есть два совершенно разных многообразия $M$,$\tilde M$ с разилчными метриками. И мне не очень понятно почему мы вообще можем производить над ними операции.

К тому же, можно те же действия проделать, просто сказав, что мы смотрм на действие как на функционал от 10 функций - $ g_{ik} $ и при этом не привлекать дополнительные пространства.

Дальше, что-то не понимаю, как вы поулчили

Утундрий в сообщении #605075 писал(а):

$$\[ \delta \left( {g^{\mu \nu } } \right) = - h^{\mu \nu } \] $$

.

Опять же, если смотреть на $g_{ik}$ как на функции, то можно получить аналогичные выражения варьированием $ g^{ik}g_{ik} =4 $, которое даст $ \delta g^{ik} g_{ik}+g^{ik} \delta g_{ik}=0 $.

Аналогично для выражения

Утундрий в сообщении #605075 писал(а):

$$\[ \delta \left( {\sqrt g } \right) = \frac{1} {2}\sqrt g h_\alpha ^\alpha \] $$

если воспольваться тем, что $ g= \varepsilon^{ijkn} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} g_{i\alpha} g_{j\beta} g_{k\gamma} g_{n\delta} $, то

$$ \cfrac{\delta}{\delta g_{\mu\nu}} g=4 \varepsilon^{\mu jkn} \varepsilon^{\nu\beta\gamma\delta} g_{j\beta} g_{k\gamma} g_{n\delta}= \delta^\mu_\mu \varepsilon^{\mu jkn} \varepsilon^{\nu\beta\gamma\delta} g_{j\beta} g_{k\gamma} g_{n\delta} = \varepsilon^{\mu jkn} \varepsilon^{\nu\beta\gamma\delta} g_{\mu\nu} g^{\mu\nu} g_{j\beta} g_{k\gamma} g_{n\delta} = g g^{\mu\nu} $$

и соответсвенно $ \delta \sqrt{-g}=\crfrac12\sqrt{-g} g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} = -\cfrac12 \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} $

Аналогично и для

Утундрий в сообщении #605075 писал(а):

$ \delta(\sqrt{g} g^{\mu\nu} ) = \sqrt{g} \left( \cfrac12 g_{\alpha\beta} g^{\mu\nu} - \delta ^\mu_\alpha \delta^\nu_\beta \right) h^{\alpha\beta} $

можно получить $ \delta(\sqrt{-g} g^{\mu\nu} = \sqrt{-g} \delta g^{\alpha\beta} \left( -\cfrac12 g_{\alpha\beta} g^{\mu\nu} + \delta^\alpha_\mu \delta ^\beta_\nu \right) $

Дальше пока не разбирался.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Зачем предлогать форализовать уже форализованное? Что мы таким путём поулчим?

Первую и третью формулы вы повторили. По второй:

$$\tilde g_{\mu \nu } \equiv g_{\mu \nu } + h_{\mu \nu } = g_{\mu \alpha } \left( {\delta _\nu ^\alpha + h_\nu ^\alpha } \right)$$

$$\det \left\| {\delta _\nu ^\alpha + h_\nu ^\alpha } \right\| = 1 + h_\alpha ^\alpha + ...$$

$$\sqrt {\tilde g} = \sqrt g \left( {1 + \frac{1}{2}h_\alpha ^\alpha } \right) + ...$$

$$\delta \left( {\sqrt g } \right) \equiv \left( {\sqrt {\tilde g} - \sqrt g } \right)_\text{линейная по h часть} = \frac{1} {2}\sqrt g h_\alpha ^\alpha $$

P.S. Возможно, большинство проблем в подобных вычислениях вызваны отношением к символу $\delta$ как к "чему-то формальному, действующему как дифференциирование"?

[EvilPhysicist]

Утундрий в сообщении #605212 писал(а):

P.S. Возможно, большинство проблем в подобных вычислениях вызваны отношением к символу $\delta$ как к "чему-то формальному, действующему как дифференцирование"?

Но это и есть что-то формальное, действующее как дифференцирование.
Вычисляем в линейном нормированном пространстве $L$ предел $ \lim\limits_{left\lbrace \left\lbrace \Delta x \right\rvert\right\rvert \to 0} \cfrac{ I(\vec x+\Delta \vec x) - I(\vec x) }{left\lbrace \left\lbrace \Delta x \right\rvert\right\rvert} $, где $I \colon L \to \mathbb R $.
Если $L=\mathbb R$, то это производная, если $L$ - пространство дифференцируемых функций, то это вариация.
Разве не так?

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #605206 писал(а):

...получится, что у нас есть два совершенно разных многообразия $M$,$\tilde M$ с разилчными метриками.

Нет, одно многообразие с различными метриками.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #605276 писал(а):

Нет, одно многообразие с различными метриками.

Тогда ладно.

[Утундрий]

Вообще-то два, но с биекцией.

[EvilPhysicist]

Утундрий в сообщении #605359 писал(а):

Вообще-то два, но с биекцией.

Ну тогда они не различимы. Да и в общем-то это мелочи.