Тензоры - как себе представить?

[lek]

casualvisitor в сообщении #602135 писал(а):

По моим наблюдениям в математике второе определение (которое "заслуженно популярно") - стандарт.

В физике же обычно достаточно знать, что "тензоры (тензорные пространства) определяются как объекты, преобразующиеся так же, как прямые произведения векторов (векторных пространств)"...

[VTur]

casualvisitor в сообщении #602135 писал(а):

Тензоры - не геометрические объекты, а алгебраические, причем сравнительно сложные и в некотором смысле многообразные.
Произвольный тензор никакого геометрического образа не имеет.
Если данным типом тензоров описывается какая-то физическая или геометрическая величина, эту величину можно рассматривать как "наглядную интерпретацию" тензоров данного типа, примеры чего уже были тут приведены.

В математике никакие величины и соотношения физического смысла не имеют. Это просто набор обозначений и правил действия с ними. Математические выражения могут быть одинаковыми в разных разделах математики. Физический смысл в них закладывает физика, привлекая для описания физических объектов.
Значительная часть алгебраических соотношений допускает интерпретацию на языке дифференциальной геометрии и наоборот, одномерные задачи - движения по кривой, двумерные - на плоскости и т.д.

[photon]

VTur, используйте нотацию $\TeX$ для записи формул на этом форуме:
«Краткий ФАК по тегу [math].»

[Munin]

Просто очаровательно, с какой непосредственностью Oleg Zubelevich, и вслед за ним (поддавшись на его провокацию?) casualvisitor путают
объяснить, что такое тензор
и дать определение тензора.

Мало того, что это вещи существенно различные, они могут быть (в зависимости от построения курса) вообще противоположными: необходимо сначала в деталях объяснить понятие, а только в самом конце дать определение, подытоживающее все объяснения.

Прошу всех остальных спором об определениях не заниматься: для этого можно пойти в другой раздел, в "Математику", и там завести новую тему. А здесь, очевидно, речь об объяснениях, причём конкретно в контексте физики, то есть интересуют не произвольные тензоры произвольных размерностей (разве что только как основа общего подхода), а конкретные тензоры рангов 2, 3, 4, в размерностях 2, 3, 4, при наличии скалярного произведения.

[KVV]

Munin в сообщении #602334 писал(а):

Мало того, что это вещи существенно различные, они могут быть (в зависимости от построения курса) вообще противоположными: необходимо сначала в деталях объяснить понятие, а только в самом конце дать определение, подытоживающее все объяснения.

+1
А хуже всего, когда "объяснение" исчерпывается приведением определения.

[Oleg Zubelevich]

Я бы предложил такую последовательность в изучении тензорного анализа. Так навскидку, может чего и забыл. ( тензорный анализ это чисто учебная дисциплина, рассчитанная на прикладников. Математики изучают дифференциальную геометрию.)

1) Курс линейной алгебры в духе цитированного Халмоша или Ефимова Розендорна "Лин. Алгебра и Многомерн. геометрия" В частности, эти курсы содержат понятие тензора и псевдотензор, внешняя форма, внешнее произведение. Т.е. чисто алгебраические вопросы все здесь.

2) Определение многообразия в частном случае, когда оно состоит из одной карты. Определение касательного и кокасательного пространства. После этого легко определить понятие тензорного поля на многообразии.

3) Дифференциальные операции с тензорами: Производная Ли тензорного поля, коммутатор вект. полей, Внешний дифференциал диф. формы, Сюда же оператор гомотопии с его свойствами. Всевозможные формулы, Маурера-Картана , в частности. Сужение тензора , в частности, формы на подмногообразие
Без доказательства: теорема о коммутировании фазовых потоков, теорема о выпрямлении векторного поля, теорема Фробениуса о распределениях. (Т.е. всякие локальные теоремы)

4) Ковариантное дифференцирование (определение инвариантное аксиоматическое, изложение координатное). Определение, свойства, связь с предыдущим. Тензор кручения , тензор кривизны (разумеется надо рассказывать о симметриях, а потом еще раз, когда связность будет согласована с метрикой). Дифференцирование тензорных плотностей.
Формулировка теоремы о существовании евклидовых координат в терминах тензора кривизны и тензора кручения.

5) Метрика, связность, согласованная с метрикой. Операции rot, div, grad Перенос вектора, геодезические. Всякие специальные факты в пространствах размерности 2,3,4

[Munin]

Sergey K
В зависимости от того, где вам тензор встретился, и для чего он вам понадобился, предложенная Oleg Zubelevich схема может оказаться для вас как удачной, так и напротив, вредной и вредительской.

Чисто алгебраических вопросов можно рассмотреть много или мало. Для физики зачастую достаточно того набора, который укладывается в алгебру векторов и теорию матриц, по крайней мере, пока не придёт пора вернуться к ним на более высоком уровне. В некотором огрублении, тензор 2 ранга - это и есть матрица.

Многообразия и карты вообще требуются либо в очень продвинутой теоретической механике, либо в общей теории относительности. Большую часть жизни можно спокойно прожить без них. То же - и про все остальные пункты программы.

Зато очень полезно было бы узнать и изучить, как выглядят с тензорной точки зрения (и с точки зрения внешних форм) операции $\mathrm{rot},\mathrm{div},\mathrm{grad}$ в плоском пространстве. А этого Oleg Zubelevich "забыл" включить в свою программу.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #602399 писал(а):

с тензорной точки зрения (и с точки зрения внешних форм) операции $\mathrm{rot},\mathrm{div},\mathrm{grad}$ в плоском пространстве

с тензорной точки зрения (и с точки зрения внешних форм) в плоском пространстве они выглядят так же как и в искривленном

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #602420 писал(а):

с тензорной точки зрения (и с точки зрения внешних форм) в плоском пространстве они выглядят так же как и в искривленном

В искривлённом пространстве свёртка происходит с участием метрического тензора, в плоском можно ввести декартову систему координат, и дальше забыть о метрическом тензоре. Или даже не знать о нём ничего, а до поры до времени изучать тензоры, не различая верхних и нижних индексов. Во многих разделах физики большего и не надо.

[мат-ламер]

Oleg Zubelevich
У Вас вроде брошюра по тензорам в сети выложена? Может доработаете её по изложенной программе?

[Oleg Zubelevich]

Там текст совсем был сырой, насколько я помню, опечатки. С тех пор методичка стала и потолще и поумнее, и все, что я тут писал в ней есть, но доводить ее до публикабельного уровня мотивация пропала. Сейчас я ее использую как конспект при чтении лекций и все.

[_hum_]

А почему изложение тензорного анализа не начинают с того, откуда вообще появляется практическая потребность в этом понятии? В свое время пытался до этого докопаться - где в физике они "выныривают" впервые. Оказалось - в линейных приближениях функции многих аргументов, а именно, из полилинейных форм в тейлоровском разложении. Тогда вопрос - почему напрямую было не работать с полилинейными формами. Как я понимаю, ответ на него: потому как полилинейные формы на декартовом произведении это то же самое что линейные на тензорном. А последние изучать гораздо привычнее и удобнее. Это так?

[Fantast2154]

Любопытно, но я читал некоторые заметки по тензорам, где практически первым же предложением было написано, что "тензор первичен, а запись его вторична" и из этого, почти философского наблюдения следует весьма сильное математическое следствие:

Утверждение.
При смене базисного пространства V, координатная запись каждого тензора изменяется по определенному закону.

[Munin]

Базисное пространство сменить нельзя. Базис в пространстве - можно. Это столь же важный момент, что пространство первично, а базис в нём, и любые координаты в нём - вторичны.

[Fantast2154]

да, базиса в V, спасибо что поправили.