Континуальный интеграл

[EvilPhysicist]

Разбираю континуальные интегралы по книге Фейнмана, Хибса "Квантовая механика и интегралы по траекториям".

Смотрю на определение интеграла по траекториям (2.25) $ K(b,a) = \int\limits_a^b e^{\frac{i}{\hbar} S[b,a]} Dx(t) $ и на формулы (2.14), (2.15) $ K(b,a) = \sum\limits_{\text{по всем возможным переходам из a в b}} \phi[x(t)] $ и $ \phi[x(t)]=\operatorname{const} e^{\frac{i}{h}S[x(t)]} $.

Правильно понимаю, что континуальный интеграл $K(b,a)$ это функция 6 переменных такая, что

$$ \forall \varepsilon>0 \exists \delta(\varepsilon)>0 \colon \forall \tau, \lambda_\tau< \delta(\varepsilon) \Rightarrow \left\lvert \left\lvert K(b,a)- \sum\limits_{k=1}^N x_k(t) e^{\frac{i}{\hbar} S[x_k(t)]} \mu\omega_k \right\rvert\right\rver $$

, где $\tau=\left\lbrace\omega_k, k=1\cdots N \right\rbrace$ - разбиение пространства функций шести переменных, $\lambda_\tau =\max\limits_k \mu \omega_k $ - диаметр разбиения, $x_k$ - траектория, лежащая в $\omega_k$, $ \mu $ - мера на этом пространстве, $S$- действие на траектории $x_k$?

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #596074 писал(а):

Смотрю на определение интеграла по траекториям (2.25) $ K(b,a) = \int\limits_a^b e^{\frac{i}{\hbar} S[b,a]} Dx(t) $

Это не определение интеграла, это определение его обозначения. Лучше принять за определение выражение (2.22).
Здесь можно проследить аналогию с обычным определённым интегралом. Определение (определённого) интеграла --- это предел суммы

$$I(a,b)=\lim\sum\text{нечто}.$$

А выражение

$$I(a,b)=\int_a^b f(x)dx$$

это обозначение этого предела, т.е. интеграла.

Дальше я несовсем понял, что Вы написали, но если опять проводить аналогию с обычным интегралом, то наверно можно написать что-то подобное и для континуального интеграла.

[EvilPhysicist]

espe в сообщении #596531 писал(а):

Дальше я несовсем понял, что Вы написали, но если опять проводить аналогию с обычным интегралом, то наверно можно написать что-то подобное и для континуального интеграла.

Если писать в виде

espe в сообщении #596531 писал(а):

$$I(a,b)=\lim\sum\text{нечто}.$$

То я написал

$$ I(a,b)= \lim\limits_{\lambda_\tau \to 0} \sum\limits_{k=1}^N \vec x_k e^{- \frac{S[\vec x_k]}{\hbar} } \mu \omega_k $$

, где берём пространство интегрируемых с квадратом функций, которое мы разбили на классы $\omega_k$, $k=1\cdots N$;

Далее на этом пространстве ввели меру $\mu$ и охарактеризовали такое разбиение на классы числом $ \lambda_\tau=\max\limits_{k=1\cdots N} \mu \omega_k $ равным максимальной из всех мер множеств $\omega_k$;

$ \vec x_k $ - уравнение некоторой кривой, лежащей в классе $\omega_k$;

$S[\vec x] $ - значение действия на этой кривой;

$ \mu \omega_k $ мера класса $\omega_k$;

И мы берём предел этой суммы, причём предел должен не зависить от разбиения и выбора кривых $x_k$.

[EvilPhysicist]

Ну то есть полная аналогия с обычным интегралом:

вместо разбиения отрезка - разбиение пространства

вместо точек разбиения - траектории

вместо площади отрезков разбиения - мера множеств разбиения

[ChaosProcess]

EvilPhysicist в сообщении #596556 писал(а):

Далее на этом пространстве ввели меру и охарактеризовали такое разбиение на классы числом равным максимальной из всех мер множеств

Чисто интересно: как вы определяете меру?

[EvilPhysicist]

ChaosProcess в сообщении #596623 писал(а):

Чисто интересно: как вы определяете меру?

Не понял вопрос, определяю данную конкретную меру или меру вообще?

Если данную конкретную, то пока что никак. Просто уточняю конструкцию.

Если меру вообще, то мерой $\mu$ на множестве $\Omega$ называю отображения $ \mu$ , отображающее некоторые подмножества в $\mathbb R$.

[ChaosProcess]

Я имел ввиду эту конструкцию

[EvilPhysicist]

Ну, если себя особо не утруждать, то на любом метрическом пространстве $M $ можно ввести меру $ \mu \Omega = \sup\limits_{a,b \in \Omega} \rho(a,b)^2 $. Пространство интегрируемых функций - метрическое, значит на нём можно ввести такую меру.

[ChaosProcess]

Все таки я не совсем понял: в 1 посте вы говорили про функции 6 переменных, но ведь кривая параметризуется 1 параметром

[EvilPhysicist]

ChaosProcess в сообщении #596679 писал(а):

Все таки я не совсем понял: в 1 посте вы говорили про функции 6 переменных, но ведь кривая параметризуется 1 параметром

Кривая - да, но мы вроде как пишем функцию от начального и конечного положения, а не саму кривую.
Хотя вот это

EvilPhysicist в сообщении #596556 писал(а):

$$ I(a,b)= \lim\limits_{\lambda_\tau \to 0} \sum\limits_{k=1}^N \vec x_k e^{- \frac{S[\vec x_k]}{\hbar} } \mu \omega_k $$

даст, конечно, должно дать уравнение кривой.

Но, как я понял, континуальный интеграл вообще должен давать волновую функцию, то есть функцию 3х переменных.

Собственно в этом вся и загвоздка - не могу понять определение. Точнее не могу найти его записанным в виде понятном мне.

[ИгорЪ]

EvilPhysicist
Прочитайте дальше, например, как вычисляется контин. интеграл для свободной частицы, осцилятора - тогда станет ясно. Это тот случай, когда когда корректного определения нет, а есть способ вычисления.

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #596074 писал(а):

Правильно понимаю, что континуальный интеграл $K(b,a)$ это функция 6 переменных такая, что ...

Мне неохота копаться в деталях (да я думаю у меня ничего и не получится), но интуитивно кажется, что Вы понимаете правильно. Только говоря строго $K(b,a)$ --- это ядро линейного функционала (ядро оператора эволюции в координатном представлении). И ещё, вообще говоря, эта штука должна зависеть от времени $K(b,t_b|a,t_a)$, но в случае рассматриваемом Фейнманом эта зависимость, наверное, сводиться к фазовому множителю и он его не рассматривает.

EvilPhysicist в сообщении #596683 писал(а):

Но, как я понял, континуальный интеграл вообще должен давать волновую функцию, то есть функцию 3х переменных.

Почти. Более точно, так как это ядро оператора эволюции, то

$$\psi(b,t_b)=\int K(b,t_b|a,t_a)\psi(a,t_a)\;da$$

EvilPhysicist в сообщении #596683 писал(а):

Собственно в этом вся и загвоздка - не могу понять определение. Точнее не могу найти его записанным в виде понятном мне.

Посмотрите книгу Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т., Континуальные интегралы. Там есть глава "Различные определения интегралов Фейнмана", может быть, что-нибудь понятное найдёте. Сам я её не читал, она для меня слишком математическая.

ИгорЪ написал правильно. Определение реально работает, только для квадратичных теорий. Только в этом случае можно всю процедуру проделать до конца и вычислить функциональный интеграл согласно определению (хотя, наверно, не совсем строго --- "на физическом уровне строгости"). Если действие не квадратично, то ФИ вычисляют с помощью теории возмущений, где в качестве нулевого приближения берётся квадратичная часть действия.

[Munin]

espe в сообщении #596955 писал(а):

Определение реально работает, только для квадратичных теорий.

Что такое "квадратичные теории"?

[ИгорЪ]

Увы, кроме гауссовых интегралов мы ничего не умеем брать. Потому действие квадратично.

[espe]

Munin в сообщении #596996 писал(а):

Что такое "квадратичные теории"?

Это теории действие которых квадратично по координатам, т.е. имеет вид

$$S[x(t)]=\int x^i(t)F_{ij}(\tfrac{d}{dt})x^j(t) dt$$

$F_{ij}$ --- некоторый дифференциальный оператор. Уравнения движения в таких теориях --- линейные дифференциальные уравнения.

Аналогично в теории поля, только координаты заменяются на поля.