Континуальный интеграл

[Munin]

Это для меня как-то сложно. Любой лагранжиан подойдёт? Или только определённого вида?

[espe]

Munin в сообщении #597070 писал(а):

Любой лагранжиан подойдёт? Или только определённого вида?

Любой не подойдёт. Только определённого вида. Например в механике гармонический осциллятор $L(x,\dot{x})=\frac{m\dot{x}^2}{2}-\frac{kx^2}{2}$. Лагранжиан есть квадратичная функция от $x$ и $\dot{x}$. Или если написать в том виде как я писал раньше $S=-\int x(\frac{m}{2}\frac{d^2}{dt^2}+\frac{k}{2})x dt$. Соответственно дифф. оператор в данном случае $F(\frac{d}{dt})=-(\frac{m}{2}\frac{d^2}{dt^2}+\frac{k}{2})$. Уравнение движения --- линейное ДУ 2-го порядка $(m\frac{d^2}{dt^2}+k)x(t)=0$. Если не рассматривать в качестве уравнений движения ДУ более высоких порядков, то это всё что можно написать в одномерном случае. В многомерном соответственно будет $L(x^i,\dot{x}^i)=-x^i(t)(\frac{m_{ij}}{2}\frac{d^2}{dt^2}+\frac{k_{ij}}{2})x^j(t)$.

Надеюсь понятно написал. Если непонятно --- спрашивайте.

[Munin]

espe в сообщении #597076 писал(а):

Лагранжиан есть квадратичная функция

Понятно. Итак, любой лагранжиан типа Хиггса не годится? Из-за членов 4 степени.

А существует какая-то возможность отобразить это на физическую модель, например, на геометрическую оптику или механику Гамильтона-Якоби, с сохранением неквадратичности, чтобы разобраться по аналогии?

[espe]

Munin в сообщении #597089 писал(а):

Итак, любой лагранжиан типа Хиггса не годится? Из-за членов 4 степени.

Для таких лагранжианов используется теория возмущений.

Munin в сообщении #597089 писал(а):

А существует какая-то возможность отобразить это на физическую модель, например, на геометрическую оптику или механику Гамильтона-Якоби, с сохранением неквадратичности, чтобы разобраться по аналогии?

Можно вычислять $K(b,a)$ в квазиклассическом приближении, а это связано с мехиникой Гамильтона-Якоби (ну и с геометрической оптикой, если я правильно понимаю).
Вычисляя $K(b,a)$, как это делается у Фейнмана-Хиббса глава 3, §5 получим (3.51)

$$K(b,a)=F(\ldots)e^{(i/\hbar)S_{\text{кл}}[b,a]}$$

$S_{\text{кл}}[b,a]$ --- действие вычисленное на классической траектории (3.46). В случае произвольной теории $F$ это ряд по $\hbar$; $F=\sum_{k=0}^\infty\hbar^kF_k$ и $F_0$ имеет вид

$$F_0=\operatorname{const}\det{}^{1/2}\left(-\frac{\partial^2S_{\text{кл}}[b,a]}{\partial b^i\partial a^j}\right)$$

для невырожденных теорий. (Для вырожденных теорий ответ для $F_0$ тоже известен в общем виде.) Если теория квадратичная, то это точный ответ и все остальные $F_i=0$. Если не квадратичная, то есть вклады от следующих $F_i$. Замечу, что выражение для $F_1$ в общем виде не известно, как для $F_0$. Нужно конкретизировать теорию и вычислять.

Надеюсь что-то прояснилось.

[Munin]

Отлично! Теперь вопрос такой: для потенциалов $\mathcal{L}=\ldots-[-\mu^2\varphi^+\varphi+\lambda(\varphi^+\varphi)^2]$ ряд ограничен или нет? Вычислены ли для него хотя бы $F_1,$ или нет?

[espe]

Munin в сообщении #597226 писал(а):

Теперь вопрос такой: для потенциалов $\mathcal{L}=\ldots-[-\mu^2\varphi^+\varphi+\lambda(\varphi^+\varphi)^2]$ ряд ограничен или нет?

Для неквадратичных лагранжианов ряд всегда не ограничен.

Munin в сообщении #597226 писал(а):

Вычислены ли для него хотя бы $F_1,$ или нет?

Я не знаток что конкретно в какой теории вычислено, но думаю, что все физически интересные случаи просчитаны почти на пределе человеческих и компьютерных возможностей. Видел например статьи, что в КХД считают что-то в трёх петлях --- это аналог $F_3$.

[Munin]

espe в сообщении #597294 писал(а):

Для неквадратичных лагранжианов ряд всегда не ограничен.

Интере-е-есно. А если искусственно взять ограниченный конечным числом членов ряд, чему он будет соответствовать, не-лагранжиану?

[espe]

Всегда можно записать в виде

$$K(b,a)=\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\Bigl(S_{\text{кл}}-i\hbar\ln \sum_{k=0}^{\infty}\hbar^k F_k\Bigr)\right\}$$

оборвать ряд и назвать получившееся, например, "эффективным действием"

$$S_{\text{эфф}}=S_{\text{кл}}-i\hbar\ln\sum_{k=0}^{N}\hbar^k F_k$$

Чем хороша или плоха такая запись я не знаю.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Научной жаждой обуян
Сквозь труд Дирака я ломился
И непрерывный интеграл
Мне среди "Принципов" явился

Его был непригляден вид
Он был сырой и непрактичен
Не обобщался он на спин
Был вопиюще квадратичен

Но вдруг мозгов коснулся он
И их заполниз шум и звон
И внял я ВКБ лобзанье
И Хиббса с Фейнманом полёт

И прочих гадов мерных ход
Нерелятьвийского сознанья
Но интеграл ко мне приник
И вырвал классики язык

Как труп над книгой я лежал
Попова глас ко мне воззвал:

"Восстань , Утундр, и виждь, и внемли,
Исполнись волею моей
И, обходя моря и земли,
Сим трюком жги сердца полей." *)

*) Фаддева и Попова.

[EvilPhysicist]

Стал разбираться дальше и стало не понятно, где в интеграли по траекториям тракетории.

У нас есть действие $S=\int dt L$ которое формально зависит только от начальной и конечной точек, то есть $S=S(q_1,q_2) $, которое ещё и удовлетворяет хорошему свойству $S(q_1,q_2) S(q_2,q_3)=S(q_1,q_3) $.

Дальше, по книжке Зинн-Жюстена "континуальные интегралы в к.м.", берём $\left\langle q'' \left\lvert U \right\rvert q' \right\rangle= \lim\limits_{n\ to \infty} \left( \cfrac{m}{2\pi\hbar \varepsilon} \right)^{\cfrac{nd}{2}} \int \Prod\limits_{k=1}^{n-1} d^d q_k \exp \left[ -\cfrac{1}{\hbar} S(q) \right]=\int\limits_{q'}^{q''} \left[ dq \right] \exp\left[-\cfrac{S}{\hbar} \right] $ как определение континуальнгого интеграла.

Но траектории то тут где? Получается, что надо просто посчитать интеграл, дл одномерного случая $\int dq_1 \int dq_2 \exp\left[-\cfrac{S(q_1,q_2)}{\hbar} \right] $, или нет?

Но если так, то для свободной частицы $S=\int \cfrac{p^2}{2m} dt = \cfrac{m}{2} \cfrac{(q_2-q_1)^2}{t_2-t_1} $ и значит надо считать $\int dq_1 \int dq_2 \exp\left[-\cfrac{1}{\hbar} \cfrac{m}{2} \cfrac{(q_2-q_1)^2}{t_2-t_1} \right] $. В экспоненте стоит квадратичная форма с матрцией $ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $. В том же учебнике сказано что $\int d^n x \exp\left[-\cfrac12 A_{ij} x_i x_j\right] = \left(2\pi\right)^\frac{n}{2} \cfrac{1}{\sqrt{\det{A_{ij}}}} $, но $\det A_{ij}=0 $ и не считается.

Но с другой стороны, можно сделать замену $y=q_2-q_1 $ и тогда $\int dq_1 \int dq_2 \exp\left[-\cfrac{1}{\hbar} \cfrac{m}{2} \cfrac{(q_2-q_1)^2}{t_2-t_1} \right] = \int dy \exp\left[-\cfrac{1}{\hbar} \cfrac{m}{2} \cfrac{(y)^2}{t_2-t_1} \right] = \cfrac{2\pi}{\sqrt{\cfrac{m}{2 \hbar(t_2 -t_1)}}} $ и как я понимаю, в первый раз не посчиталось потому что нам важна только разность $q_2-q_1 $. Это так?

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #619082 писал(а):

У нас есть действие $S=\int dt L$ которое формально зависит только от начальной и конечной точек, то есть $S=S(q_1,q_2) $, которое ещё и удовлетворяет хорошему свойству $S(q_1,q_2) S(q_2,q_3)=S(q_1,q_3) $.

Непонятно, что такое $S(q_1,q_2)$. Если это действие вычисленное на уравнении движения, то такого свойства нет.

EvilPhysicist в сообщении #619082 писал(а):

Дальше, по книжке Зинн-Жюстена "континуальные интегралы в к.м.", берём ... как определение континуальнгого интеграла.
Но траектории то тут где?

ИМХО Зинн-Жюстен ввёл неудачное обозначение $S(q)$. Вообще-то эта величина для разных кусков траектории будет разной, а он её записывает так, как-будто она одинаковая. Про траектории у него написано после формулы (2.20) и рисунок там есть. Прочтите, если будет не понятно, я потом объясню по своему.

EvilPhysicist в сообщении #619082 писал(а):

Получается, что надо просто посчитать интеграл, для одномерного случая $\int dq_1 \int dq_2 \exp\left[-\cfrac{S(q_1,q_2)}{\hbar} \right] $, или нет?

Нет.

EvilPhysicist в сообщении #619082 писал(а):

Но с другой стороны, можно сделать замену $y=q_2-q_1 $ и тогда $\int dq_1 \int dq_2 \exp\left[-\cfrac{1}{\hbar} \cfrac{m}{2} \cfrac{(q_2-q_1)^2}{t_2-t_1} \right] = \int dy \exp\left[-\cfrac{1}{\hbar} \cfrac{m}{2} \cfrac{(y)^2}{t_2-t_1} \right] = \cfrac{2\pi}{\sqrt{\cfrac{m}{2 \hbar(t_2 -t_1)}}} $ и как я понимаю, в первый раз не посчиталось потому что нам важна только разность $q_2-q_1 $. Это так?

Во второй раз (который «с другой стороны») Вы забыли интеграл по $q_1$ (или по $q_2$). В обоих случаях будет бесконечность.

[EvilPhysicist]

espe в сообщении #620026 писал(а):

Непонятно, что такое $S(q_1,q_2)$. Если это действие вычисленное на уравнении движения, то такого свойства нет.

Ну это действие, но как функция начальной и конечной точки траектории.

espe в сообщении #620026 писал(а):

Про траектории у него написано после формулы (2.20) и рисунок там есть. Прочтите, если будет не понятно, я потом объясню по своему.

Ушёл читать, с остальным понятно.

-- 17.09.2012, 18:28 --

espe в сообщении #620026 писал(а):

Вообще-то эта величина для разных кусков траектории будет разной, а он её записывает так, как-будто она одинаковая

Вот теперь не понимаю, почему $S(q,t) $ должна быть разной для разных кусков. По крайней мере, так как она определена у Зинна-Жустена, то зависеть от кусков она не должна

Зинн-Жустен писал(а):

$\left\langle q'' \left\lvert U(t'',t') \right\rvert q' \right\rangle = \lim\limits_{n\to\infty} \left( \cfrac{m}{2\pi\hbar\varepsilon}\right)^{\frac{dn}{2}} \int \prod\limits_{k=1}^{n-1} d^d q_k \exp\left[-\cfrac{-S(q,\varepsilon)}{\hbar}\right] $ (2.19)

,где

$S(q,\varepsilon)=\sum\limits_{k=1}^{n-1} \int_{t_k}^{t_{k+1}} dt \left[ \cfrac12 m \dot q^2 + V(q,t) \right] + O(\varepsilon^2)$

И тут, просто в силу свойств определенного интеграла получится, что
$ S(q,\varepsilon)=\sum\limits_{k=1}^{n-1} \int_{t_k}^{t_{k+1}} dt \left[ \cfrac12 m \dot q^2 + V(q,t) \right] + O(\varepsilon^2) = \int\limits_{t'}^{t''} dt \left[ \cfrac12 m \dot q^2 + V(q,t) \right] + O(\varepsilon^2) $

И, как я понимаю, вы хотите сказать, что та величина, которая стоит в экспоненте в (2.19) должна зависеть от точек разбиения $q_k $?

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #620075 писал(а):

И, как я понимаю, вы хотите сказать, что та величина, которая стоит в экспоненте в (2.19) должна зависеть от точек разбиения $q_k $?

Да.

[EvilPhysicist]

espe в сообщении #620096 писал(а):

Да.

Тогда не очень понятно, как вводить определение континуального интеграла.

Как я понимаю, надо ввести величину $S(q_1,q_2)=\int\limits_{t_1}^{t_2} dt L(q,\dot q,t) $, где $q_1=q(t_1) $, $q_2=q(t_2) $ и с помощью неё определять интеграл (2.19), но ничего кроме как
$\left\langle q' \left\lvert U \right\rvert q'' \right\rangle =\left(\cfrac{m}{2\pi\hbar\varepsilon} \right)^\frac{n}{2} \int dq_n \left( \cdots \left( \int dq_2 \left(\int dq_1 e^{-\cfrac{S(q,q_1)}{\hbar}}\right) e^{-\cfrac{S(q_1,q_2)}{\hbar} \right) \cdots \right) e^{-\cfrac{S(q_n,q'')}{\hbar}} $
мне в голову не приходит.

[fizeg]

espe в сообщении #597451 писал(а):

Всегда можно записать в виде

$$K(b,a)=\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\Bigl(S_{\text{кл}}-i\hbar\ln \sum_{k=0}^{\infty}\hbar^k F_k\Bigr)\right\}$$

оборвать ряд и назвать получившееся, например, "эффективным действием"

$$S_{\text{эфф}}=S_{\text{кл}}-i\hbar\ln\sum_{k=0}^{N}\hbar^k F_k$$

Чем хороша или плоха такая запись я не знаю.

Хороша тем, что для такого действия можно классическими (с небольшими оговорками, например роль классического поля играет вакуумное среднее) методами и интуицией ухватить квантовые эффекты (конечно с точностью до того порядка на котором обрываем)

Например эффективный потенциал Коулмена-Вайнберга дает понять, что в безмассовой скалярной электродинамике нарушение симметрии таки должно произойти, несмотря на то, что в классическом действии его вообще не будет (да и попробуй это осознай просто вычисляя диаграммы)

А все еще лучше, когда срабатывают методы вроде heat kernel'я, в которых можно хотя бы однопетлевое эффективное действие посчитать без вычисления диаграмм Фейнмана.