Равенство с целой частью [Теория чисел]

[Whitaker]

Добрый день, друзья!

Доказать, что если при любом натуральном $n$ имеем неравенство $[na]+[nb]=[nc]$, то хотя бы одно из чисел $a,b$ - целое.

Помогите пожалуйста разобрать задачу. Абсолютно не представляю с чего начать и как делать.

С уважением, Whitaker.

[Cash]

Можно показать, что $a+b=c$

[Whitaker]

Cash
не понял Вас.
Можно чуть подробнее?

[Sonic86]

Например так: перенести все влево, целую часть представить в виде суммы дробной части и аргумента, взять $\lim\limits_{n\to+\infty}$, предположить противное...

[Cash]

$na+nb-nc$ ограничено двойкой

[Whitaker]

Sonic86 в сообщении #594677 писал(а):

Например так: перенести все влево, целую часть представить в виде суммы дробной части и аргумента, взять $\lim\limits_{n\to+\infty}$, предположить противное...

$[na]+[nb]-[nc]=0$
Так как $[x]=x-\{x\}$, то:
$(na-\{na\})+(nb-\{nb\})-(nc-\{nc\})=0$
$n(a+b-c)=\{na\}+\{nb\}-\{nc\}$
Не совсем понятно как здесь взять $\lim \limits_{n\to \infty}$

[Профессор Снэйп]

Здесь надо заметить, что при $a+b \neq c$ произведение $n(a + b - c)$ стремится к $\infty$, в то время как $\{ na \} + \{ nb \} - \{ nc \}$ ограничено.

[Cash]

$n(a+b-c)=\{na\}+\{nb\}-\{nc\}$
$-1 \leq \{na\}+\{nb\}-\{nc\} \leq 2$
А что будет с ненулевым числом, если его умножить на очень большое число?

[xmaister]

(Оффтоп)

Whitaker в сообщении #594691 писал(а):

$n(a+b-c)=\{na\}+\{nb\}-\{nc\}$

Как мы можем применять предельный переход? Не факт, что предел правой части существует... При иррациональном $a$ последовательность $(na)_{n\in\mathbb{N}}$ ррмод1

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #594698 писал(а):

Как мы можем применять предельный переход? Не факт, что предел правой части существует...

Предел слева существует и равен либо $0$, либо $\infty$. Значит, и справа предел должен существовать. Однако справа последовательность ограничена

[xmaister]

Профессор Снэйп, да, точно. Меня опять переклинило...

[Whitaker]

Cash, Профессор Снэйп
я только, что прочитал Ваши сообщения ....
Я сейчас все расписал все на бумажке и получил следующее:
$n(a+b-c)=\{na\}+\{nb\}-\{nc\}$
Так как $-1\leqslant \{na\}+\{nb\}-\{nc\}<2$, то отсюда:
$-1\leqslant n(a+b-c)<2$
$-\frac{1}{n}\leqslant a+b-c<\frac{2}{n}$
Переходя к пределу при $n\to \infty$ получаем по лемме "о зажатой последовательности", что:
$\lim \limits_{n\to \infty}(a+b-c)=a+b-c=0$
Получаем, что $c=a+b$

-- Чт июл 12, 2012 14:55:23 --

Но как показать, что хотя одно из чисел $a, b$ будет целым?

[Cash]

Итак, нужно показать, что если для любого $n$ выполняется
$\{na\}+\{nb\}=\{nc\}$
то $\{a\}=\{c\}$
Я доказывал следующее:
Если $0<\{a\}<\{c\}$, то существует такое $N$, что
$\{Na\}>\{Nc\}$

[Whitaker]

Cash в сообщении #594706 писал(а):

Итак, нужно показать, что если для любого $n$ выполняется
$\{na\}+\{nb\}=\{nc\}$
то $\{a\}=\{c\}$

А зачем нам показывать, что $\{a\}=\{c\}$?
Мы ведь получили, что $c=a+b$. Нельзя ли отсюда получить, что хотя бы один из чисел $a, b$ - целые?

[Cash]

Если одно из чисел $a, b$ - целые, положим $b$, т.е. $\{b\}=0$, что равносильно утверждению
$\{na\}+\{nb\}=\{nc\}, \forall n \Leftrightarrow \{a\}=\{c\}$

-- Чт июл 12, 2012 17:11:04 --

Цитата:

Мы ведь получили, что $c=a+b$. Нельзя ли отсюда получить, что хотя бы один из чисел $a, b$ - целые?

Равенство $c=a+b$ нам нужно, чтобы перейти от равенства с целыми частями к равенству с дробными частями