правило множителей Лагранжа

[Sverest]

Найти экстремум функции, используя правило множителей Лагранжа.
Результат проверить с помощью метода исключения.

$f(x)=(x_1 -3)^2+(x_2 -2)^2$, если $x_1+x_2=6$

Составим функцию Лагранжа
$L(x, \lambda_0, \lambda_1)=\lambda_0 ((x_1 -3)^2+(x_2 -2)^2)+\lambda_1(x_1+x_2-6)$

Правильно составил? Что дальше делать?

[Yu_K]

А зачем два параметра?
Примеры здесь -
http://dxdy.ru/topic44118.html
http://dxdy.ru/topic37854.html

[Sverest]

При условии $\lambda_0=0, \lambda_1 \ne 0$ система несовместна

При условии $\lambda_0=0, тогда \lambda_0 =1$

$L(x, \lambda_0, \lambda_1)=x_1^2-6x_1+x_2^2-4x_2+13+\lambda_1(x_1 + x_2-6)$

$\begin{cases} L'_{x_1}=2x_1-6+\lambda_1 =0\\ L'_{x_2}=2x_2-4+\lambda_1 =0\\ x_1+x_2=6} \end{cases}$

$x_1=3.5, x_2=2.5, \lambda_1=-1$

$\Delta=4 > 0$ Значит точка - условный максимум

Правильно решил?
Что такое метод исключений, при помощи которого надо проверить результат?

[Yu_K]

Замените $x_2$ в целевой функции на $6-x_1$ - получите целевую функцию одной переменной и найдите ее экстремумы.

[Sverest]

Yu_K в сообщении #593452 писал(а):

Замените $x_2$ в целевой функции на $6-x_1$ - получите целевую функцию одной переменной и найдите ее экстремумы.

Ну мне же, по заданию, надо использовать правило множителей Лагранжа
а что на плоскости значит $\lambda_1=-1$?

[Sverest]

$x_1^2-6x_1+(6-x_1)^2-4(6-x_1)+13$

$x_1^2-6x_1+36-12x_1+x_1^2-24-4x_1+13$

$2x_1^2-22x_1+25$

$x_{11}=9,7131\:\: x_{21}=-3,7131$

$x_{12}=1,2869\:\:x_{22}=4,7131$

Это и есть экстремумы?

[Yu_K]

Sverest в сообщении #593537 писал(а):

$x_{12}=1,2869\:\:x_{22}=4,7131$

Это и есть экстремумы?

Цитата:

Что такое метод исключений, при помощи которого надо проверить результат?

У полученной Вами параболы одна критическая точка - там где производная обращается в ноль - в данном случае там будет минимум $x_{1}=\frac{11}{2}$ ("рога параболы" торчат вверх) и тогда -

$$x_{1}=\frac{11}{2}\:\:x_{2}=\frac{1}{2}$$

Это и будет метод исключения для проверки результата.
Раз не совпадают ответы, полученные разными методами - значит где-то напутали - проверяйте все еще раз. Похоже параболу Вы нашли неправильно.

[Sverest]

Yu_K в сообщении #593671 писал(а):

Похоже параболу Вы нашли неправильно.

Да, парабола: $2x_1^2-14x_1+25$

$f'(x)=4x_1-14$

$x_1=\frac{14}{4}=3,5$

$x_2=2\frac12$

[Sverest]

Преподаватель написала:

Цитата:

Почему найденная точка – точка условного максимума? Кроме того, почему метод исключения выполнен не полностью? Найдена только стационарная точка. Не проверено достаточное условие.

[Yu_K]

например в вики посмотрите или те ссылки на форум, что были выше