Экстремумы функций от двух переменных.

[kvadratnt]

Ищу экстремумы функции: $Z=10 + 2xy-x^2$ в области $0\le y \le 4-x^2$

Стационарные точки получились x=0, y=0. Точка M(0;0).
Ищу значение функции в точке М.
$Z(0;0)=10 + 2*0*0-0^2=10$
1) При $x=0$ где, $0\le y \le 4-x^2$ имеем:
$Z=10$; $Z_y^' = 0$;$y_0=0$

Теперь как я понял нужно подставлять значения $y$ в функцию $Z=10$ и вот тут я пришёл в тупик, подскажите какой можно сделать вывод из решения и как решать дальше?

[ewert]

kvadratnt в сообщении #368325 писал(а):

1) При $x=0$ где, $0\le y \le 4-x^2$

Линия $x=0$ как раз никому не интересна, а вот что действительно необходимо -- так это исследовать функции одной переменной, получающиеся сужением $f(x,y)$ на линии $y=0$ и $y=4-x^2$ (в пределах границы, конечно). И не забыть добавить в число подозрительных точек ещё и вершины области.

[kvadratnt]

При $y=0$ где, $0\le y \le 4-x^2$ имеем:
$Z=10-x^2$; $Z_x^' = 0$;$x_0 = 0$;
$Z(0)=0$.

При $y=4-x^2$ имеем:
$Z=10+8x-2x^3-x^2$; $Z_x^' = 8-6x^2-2x=0$;$x_0 = 8$;
$Z(8)=8-6*8^2-2*8=-392$.

В первом случае опять тоже самое, во втором ответ слишком большой по модулю, что я делаю не так? какой можно сделать вывод по решению?

-- Вс окт 31, 2010 16:17:34 --

Если начертить график то очевидно что точка максимума (0;4), а точка минимума (0;0), но как это доказать решением?

[ewert]

kvadratnt в сообщении #368349 писал(а):

При $y=4-x^2$ имеем:
$Z=10+8x-2x^3-x^2$; $Z_x' = 8-6x^2-2x=0$; $x_0 = 8$;

Прежде всего, $x_0 = 8$ не подходит -- она лежит вне границы.Но, с другой стороны: а откуда восьмёрка-то?...

kvadratnt в сообщении #368349 писал(а):

Если начертить график то очевидно что точка максимума (0;4),

Совершенно очевидно, что эта точка не может быть ни максимумом, ни минимумом -- она совершенно точно не является одной из "подозрительных".

[kvadratnt]

В моей литературе ничего не написано про

Цитата:

функции одной переменной, получающиеся сужением

и

Цитата:

подозрительные точки

посоветуйте свою литературу где подробно об этом всё написано?

[ewert]

Проще рассказать самому. Теория там вполне примитивна. Максимум и минимум в ограниченной области может достигаться только в точках одного из трёх типов:

1. Стационарные точки, попадающие внутрь области (т.е. такие, что обе частные производные равны нулю -- достаточные условия проверять не нужно).

2. Стационарные точки на каждой из линий, которыми образована граница (естественно, только те, которые попадают на сам участок границы, а не на его продолжение).

3. Вершины, т.е. точки, в которых сходятся два участка, задаваемые разными уравнениями.

Надо просто собрать все эти точки в кучу и отобрать из них наилучшую и наихудшую.

По поводу стационарных точек на границе. Их можно искать так, как это делали Вы -- выразить игрек через икс (или наоборот) из уравнения границы, подставить в исследуемую функцию и приравнять к нулю производную от получившейся функции одной переменной. Или, если граница задана параметрически -- подставить непосредственно эти параметрические уравнения; важно ведь лишь, что полученная функция будет зависеть только от одной переменной, а от какой конкретно -- непринципиально. Или, если подстановка неудобна или не получается -- использовать метод множителей Лагранжа (почитать про него можно, например, здесь).

[kvadratnt]

Ещё поразбирался, получилось что подозрительная точка всего одна М(0;0) которая входит в область D
$A=Z
$B=Z
$C=Z

$D=AC-B^{2}=-2*0-4=-4$
И как теперь определить знак числа D для точки М(0;0)?

[vvvv]

Максимум равен 15, минимум 62/27.(желтые точки на картинке) см.картинку

[ewert]

kvadratnt в сообщении #368463 писал(а):

И как теперь определить знак числа D для точки М(0;0)?

Никак, он в таких задачах не нужен. А вот что обязательно -- это перебрать именно все перечисленные мной точки и сосчитать значение функции в каждой из них. И этого достаточно.

[kvadratnt]

$y=4-x^{2}$
$10+2x(4-x^{2})-x{2}$
$10+8x-2x^{3}-x{2}$
$Z'_{x}=8-6x^{2}-x=0$
$x_{1}=-1.241$
$x_{2}=1.074$
$y_{1}=4-(-1.241)^{2}$
$y_{1}=2.46$
$y_{2}=4-(1.074)^{2}$
$y_{2}=2.847$
Получилось 2 подозрительные точки $M_{1}(1.2;2.5), M_{2}(1.1;2.8)$
$Z(M_{1})=14.566 Z(M_{2})=14.962$
$Z(M_{2})=14.962$ больше $Z(M_{1})=14.566$ значит M2 - точка экстремума, причём максимума. Я правильно всё сделал?

-- Вс окт 31, 2010 21:08:38 --

vvvv в сообщении #368465 писал(а):

Максимум равен 15, минимум 62/27.(желтые точки на картинке) см.картинку

А чему у тебя равны z,P,L0,(x1,y1,z1),(x2,y2,z2) ?

[ewert]

kvadratnt в сообщении #368514 писал(а):

Я правильно всё сделал?

Всё неправильно. Во-первых, перевраны $x_1$ и $x_2$ (поскольку производная неверно выписана). Во-вторых, гордо и напрасно проигнорированы вершины. Ну и, наконец, куда-то потерялся участок границы $y=0$.

[kvadratnt]

ewert в сообщении #368544 писал(а):

kvadratnt в сообщении #368514 писал(а):

Я правильно всё сделал?

Всё неправильно. Во-первых, перевраны $x_1$ и $x_2$ (поскольку производная неверно выписана). Во-вторых, гордо и напрасно проигнорированы вершины. Ну и, наконец, куда-то потерялся участок границы $y=0$.

Как находить вершины?
И как игрек может одновременно равно быть нулю и $4-x^{2}$?

[ewert]

kvadratnt в сообщении #368553 писал(а):

Как находить вершины?

О госсподи.

Нарисуйте картинку -- и посмотрите, где стыкуются участки границы, задаваемые разными уравнениями. Это и будут "вершины".

kvadratnt в сообщении #368553 писал(а):

И как игрек может одновременно равно быть нулю и $4-x^{2}$?

Что значит "одновременно"?... На одном участке границы игрек один, а на другом -- совершенно другой. А как иначе-то.

[vvvv]

kvadratnt в сообщении #368514 писал(а):

$y=4-x^{2}$
$10+2x(4-x^{2})-x{2}$
$10+8x-2x^{3}-x{2}$
$Z'_{x}=8-6x^{2}-x=0$
$x_{1}=-1.241$
$x_{2}=1.074$
$y_{1}=4-(-1.241)^{2}$
$y_{1}=2.46$
$y_{2}=4-(1.074)^{2}$
$y_{2}=2.847$
Получилось 2 подозрительные точки $M_{1}(1.2;2.5), M_{2}(1.1;2.8)$
$Z(M_{1})=14.566 Z(M_{2})=14.962$
$Z(M_{2})=14.962$ больше $Z(M_{1})=14.566$ значит M2 - точка экстремума, причём максимума. Я правильно всё сделал?

-- Вс окт 31, 2010 21:08:38 --

vvvv в сообщении #368465 писал(а):

Максимум равен 15, минимум 62/27.(желтые точки на картинке) см.картинку

А чему у тебя равны z,P,L0,(x1,y1,z1),(x2,y2,z2) ?

z - это заданный гиперболический параболоид
p - это заданный параболический цилиндр
L0-это линия пересечения параболода и цилиндра
(x1,y1,z1), (x2,y2,z2) - координаты точек, где достигается экстремум.
Нужно, например, х принять за параметр, тогда y=4-x^2, затем x и 4-x^2 подставить в Z
Получим уравнение линии пересечения параболоида и цилиндра (в параметрическом виде)
Находим производную (dz/dx), приравниваем нулю, находим две экстремальные точки.
По памяти (уже все стер, кроме картинки)- это x=-4/3 , x=1.
Подставляем найденные значения параметра в уравнение линии пересечения поверхностей и находим экстремальные точки.Все.

[ewert]

vvvv в сообщении #368567 писал(а):

Нужно, например, х принять за параметр, тогда y=4-x^2, затем x и 4-x^2 подставить в Z Получим уравнение линии пересечения параболоида и цилиндра (в параметрическом виде)Находим производную (dz/dx), приравниваем нулю, находим две экстремальные точки.По памяти (уже все стер, кроме картинки)- это x=-4/3 , x=1.Подставляем найденные значения параметра в уравнение линии пересечения поверхностей и находим экстремальные точки.Все.

Не сбивайте человека с толку. Хотя бы потому, что Вы не поняли условие. Речь шла о минимуме и максимуме в ограниченной области.