Непонятная арифметика

[Ktina]

На заключительном ( ) туре одной из Ленинградских Олимпиад предлагалась подозрительно простая задача:

=======================================================================
В вершинах правильного 100-угольника расставлены целые числа. Каждую минуту каждое из чисел заменяется на свою разность с числом, следующим за ним по часовой стрелке. Доказать, что через 5 минут сумма чисел в вершинах нашего 100-угольника будет делиться на 5.
=======================================================================

По-моему, даже после первой минуты эта сумма обращается в нуль и не меняется изменяется в дальнейшем.
Действительно, пусть стоят 100 чисел $a_1, a_2, \dots a_{100}$. Тогда через минуту сумма будет

$$a_1-a_2+a_2-a3+a_3-a_4+\dots +a_{99}-a_{100}+a_{100}-a_1$$

Нетрудно заметить, что она нулевая. Таким образом, задачка тянет максимум на кружок 5-го класса.

Но вот официальное решение из сборника Фомина:

=======================================================================
Если обозначить шесть подряд идущих чисел через $a_k, a_{k+1}, \dots , a_{k+5}$, то через 5 минут на месте числа $a_k$ будет стоять число

$$a_k-5a_{k+1}+10a_{k+2}+10a_{k+3}+5a_{k+4}-a_{k+5}$$

Просуммировав все подобные выражения и отбросив слагаемые, заведомо делящиеся на 5, получим 0.
=======================================================================

Так это я чего-то не поняла, или, всё-таки, лыжи не едут?

З. Ы.
И, кстати, у Фомина, вроде, ошибка. Там в четвёртом слагаемом не "+10", а "-10".

[ИСН]

Бывает: автор задачи прошляпил очевидный ход. Бывает и хуже.
post458441.html#p458441