2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите, пожалуйста, понять условие задачи
Сообщение15.06.2011, 16:44 
Оригинальный текст:

Given a positive integer $x_1$, a sequence $(x_n)^{\infty}_{n=1}$ is constructed as follows:
For $n\ge 2$, $x_n$ is obtained from $x_{n-1}$ by adding some nonzero digit of $x_{n-1}$.

(a) Prove that there is an even number in the sequence;
(b) Prove that there are infinitely many even numbers in the sequence.

Что имеется в виду под "adding" - сложение или приписывание цифры?
Ведь при приписывании цифры утверждение задачи ложно.
Достаточно взять $x_1=21$ , а потом приписывать всё время единичку (211, 2111, 21111, ...).

Если же имеется в виду сложение, то решение слишком очевидно:

а)
Предположим, чётных чисел в нашей последовательности нет.
Перескакивать через десятки нельзя, так как каждый раз число увеличивается не более, чем на 9.
Значит, рано или поздно мы окажемся в глубокой таком десятке, что все цифры помимо последней будут нечётными (например, $\overline{999\dots 999a}$), но ведь и последняя, по нашему предположению, должна быть нечётной, следовательно, на следующем шаге мы получим чётное число.

б)
Теперь предположим, что число чётных чисел в нашей последовательности конечно. Но тогда с некоторого момента все числа опять нечётны - переходим к пункту а).

Так что же, всё-таки, имелось в виду под "adding"?

 
 
 
 Re: Помогите, пожалуйста, понять условие задачи
Сообщение15.06.2011, 16:52 
Аватара пользователя
Сумма. Иначе действительно очевидно - например, если исходное число состоит из одной цифры, то последовательность однозначна и новый цифр в ней появиться не может

 
 
 
 Re: Помогите, пожалуйста, понять условие задачи
Сообщение15.06.2011, 16:55 
Xenia1996 в сообщении #458376 писал(а):
Если же имеется в виду сложение, то решение слишком очевидно:

Да ладно, не очень-то и очевидно. Всё-таки в таких рассуждениях надо тренироваться. И потом, это очень индивидуально.

 
 
 
 Re: Помогите, пожалуйста, понять условие задачи
Сообщение15.06.2011, 16:56 
PAV в сообщении #458379 писал(а):
Сумма. Иначе действительно очевидно - например, если исходное число состоит из одной цифры, то последовательность однозначна и новый цифр в ней появиться не может

Если Вы правы, то данная задача не дотягивает до уровня олимпиадной (тем паче для страны с миллиардным населением), максимум на кружковскую разминочную потянет.

Вот ссылка на задачу (она там номер 5):

http://www.imomath.com/othercomp/Ind/IndMO05.pdf

-- Ср июн 15, 2011 16:59:07 --

nnosipov в сообщении #458380 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #458376 писал(а):
Если же имеется в виду сложение, то решение слишком очевидно:

Да ладно, не очень-то и очевидно. Всё-таки в таких рассуждениях надо тренироваться. И потом, это очень индивидуально.

Если честно, я её не решала, просто сразу смекнула, что чётных бесконечно много, а своё "смекание" выложила здесь в письменном виде. Решать-то там нечего!

 
 
 
 Re: Помогите, пожалуйста, понять условие задачи
Сообщение15.06.2011, 19:35 
Аватара пользователя
Один студент © занялся исторической реконструкцией и решил специализироваться на метании копья. День и ночь сидел и метал, и даже на лекциях как-то там незаметно ухитрялся тренироваться. Наконец достиг вершин мастерства, встал, да и повалился набок: правая рука перевесила.
Олимпиадная математика интересна и приятна, но если это стало слишком легко - надо заняться чем-то другим.

 
 
 
 Re: Помогите, пожалуйста, понять условие задачи
Сообщение15.06.2011, 20:28 
ИСН в сообщении #458441 писал(а):
Один студент © занялся исторической реконструкцией и решил специализироваться на метании копья. День и ночь сидел и метал, и даже на лекциях как-то там незаметно ухитрялся тренироваться. Наконец достиг вершин мастерства, встал, да и повалился набок: правая рука перевесила.
Олимпиадная математика интересна и приятна, но если это стало слишком легко - надо заняться чем-то другим.

(Оффтоп)

В первой половине $XX$ века некоторые врачи полагали, что метание копья приводит к сумасшествию. Посему, усиленно пытались отучить подростков обоих полов от этого вредного (по их (врачей) мнению) занятия.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group