Помогите, пожалуйста, понять условие задачи

[Xenia1996]

Оригинальный текст:

Given a positive integer $x_1$, a sequence $(x_n)^{\infty}_{n=1}$ is constructed as follows:
For $n\ge 2$, $x_n$ is obtained from $x_{n-1}$ by adding some nonzero digit of $x_{n-1}$.

(a) Prove that there is an even number in the sequence;
(b) Prove that there are infinitely many even numbers in the sequence.

Что имеется в виду под "adding" - сложение или приписывание цифры?
Ведь при приписывании цифры утверждение задачи ложно.
Достаточно взять $x_1=21$ , а потом приписывать всё время единичку (211, 2111, 21111, ...).

Если же имеется в виду сложение, то решение слишком очевидно:

а)
Предположим, чётных чисел в нашей последовательности нет.
Перескакивать через десятки нельзя, так как каждый раз число увеличивается не более, чем на 9.
Значит, рано или поздно мы окажемся в глубокой таком десятке, что все цифры помимо последней будут нечётными (например, $\overline{999\dots 999a}$), но ведь и последняя, по нашему предположению, должна быть нечётной, следовательно, на следующем шаге мы получим чётное число.

б)
Теперь предположим, что число чётных чисел в нашей последовательности конечно. Но тогда с некоторого момента все числа опять нечётны - переходим к пункту а).

Так что же, всё-таки, имелось в виду под "adding"?

[PAV]

Сумма. Иначе действительно очевидно - например, если исходное число состоит из одной цифры, то последовательность однозначна и новый цифр в ней появиться не может

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #458376 писал(а):

Если же имеется в виду сложение, то решение слишком очевидно:

Да ладно, не очень-то и очевидно. Всё-таки в таких рассуждениях надо тренироваться. И потом, это очень индивидуально.

[Xenia1996]

PAV в сообщении #458379 писал(а):

Сумма. Иначе действительно очевидно - например, если исходное число состоит из одной цифры, то последовательность однозначна и новый цифр в ней появиться не может

Если Вы правы, то данная задача не дотягивает до уровня олимпиадной (тем паче для страны с миллиардным населением), максимум на кружковскую разминочную потянет.

Вот ссылка на задачу (она там номер 5):

http://www.imomath.com/othercomp/Ind/IndMO05.pdf

-- Ср июн 15, 2011 16:59:07 --

nnosipov в сообщении #458380 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #458376 писал(а):

Если же имеется в виду сложение, то решение слишком очевидно:

Да ладно, не очень-то и очевидно. Всё-таки в таких рассуждениях надо тренироваться. И потом, это очень индивидуально.

Если честно, я её не решала, просто сразу смекнула, что чётных бесконечно много, а своё "смекание" выложила здесь в письменном виде. Решать-то там нечего!

[ИСН]

Один студент © занялся исторической реконструкцией и решил специализироваться на метании копья. День и ночь сидел и метал, и даже на лекциях как-то там незаметно ухитрялся тренироваться. Наконец достиг вершин мастерства, встал, да и повалился набок: правая рука перевесила.
Олимпиадная математика интересна и приятна, но если это стало слишком легко - надо заняться чем-то другим.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #458441 писал(а):

Один студент © занялся исторической реконструкцией и решил специализироваться на метании копья. День и ночь сидел и метал, и даже на лекциях как-то там незаметно ухитрялся тренироваться. Наконец достиг вершин мастерства, встал, да и повалился набок: правая рука перевесила.
Олимпиадная математика интересна и приятна, но если это стало слишком легко - надо заняться чем-то другим.

(Оффтоп)

В первой половине $XX$ века некоторые врачи полагали, что метание копья приводит к сумасшествию. Посему, усиленно пытались отучить подростков обоих полов от этого вредного (по их (врачей) мнению) занятия.