Локально компактное подпространство ТВП

[xmaister]

Пусть $X$- топологическое векторное пространство и $Y\subset X$ локально компактное подпространство. Как доказать, что $Y$- замкнутое в $X$ множество? Наведите на мысль.

[Oleg Zubelevich]

Следствие стандартного факта. Открываем Шефер "Топологические векторные пространства "
и ищем этот стандартный факт

[xmaister]

Oleg Zubelevich, а где оно там есть, что-то не могу найти?

[lyuk]

В общем случае это утверждение неверно.

При дополнительном (не очень сильном) условии на $X$ -- это правильно.

Схема такая. $Y$ -- локально компактно т.и т. т. когда в $Y$ есть компактная ону, которая будет предкомпактной и т.д.

[xmaister]

lyuk
, я разорался в доказательстве, но не могу понять его суть до конца, в смысле как этому прийти можно или это стандартные топологические рассуждения?
Сначала рассматривают компакт $K\subset Y$, такой что $0\in\operatorname{Int}K$. Потом находят окрестности нуля $V, U$ в $X$, такие что $V=-V,\overline{V}+\overline{V}\subset U, U\cap Y\subset K$. Далее утверждается, что для любого $x\in X$ множество $Y\cap (x+\overline{V})$-компактно. Пусть $Y\cap (x+\overline{V})$- не пусто. Положим, что $y_0\in Y$- фиксирована, $y\in Y$- произвольная. $y-y_0=y-x+x-y_0\in\overline{V}+\overline{V}\subset U\cap Y\subset K$. Теперь, т.к. каждое замкнутое множество компакта- компакт, то $Y\cap (x+\overline{V})$- компакт. Далее рассмотрим базу в точке 0- $\mathscr{B}=\{W|0\in W,W\subset V\}$. $x\in\overline{Y}\Leftrightarrow\forall W\in\mathscr{B}((x+W)\cap Y\ne\varnothing )\Rightarrow \forall W\in\mathscr{B}((x+\overline{W})\cap Y\ne\varnothing )$. Т.к. $Y\cap (x+\overline{V})$- компакт, то $Y\cap\bigcap\limits_{W\in\mathscr{B}} (x+\overline{W})\ne\varnothing$. Пусть $z\in Y\cap\bigcap\limits_{W\in\mathscr{B}} (x+\overline{W})$ и пусть $z\ne x$. Тогда в силу того, что $X$- $T_2$, то существует окрестность нуля $U_0$, такая что $(z+U_0)\cap (x+\overline{W})$, тогда $z\ne Y\cap\bigcap\limits_{W\in\mathscr{B}} (x+\overline{W})$. Т.е. $x\in Y$, значит $Y=\overline{Y}$.

[Oleg Zubelevich]

хаусдорфово твп является локально компактным только если оно конечномерно

[Someone]

Теорема 3.6?

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #585403 писал(а):

хаусдорфово твп является локально компактным только если оно конечномерно

Это смотря над каким полем.

[xmaister]

apriv
Я уже понял, что для $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ это верно. А для какого может быть не верно?

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #585405 писал(а):

Теорема 3.6?

Угу

apriv в сообщении #585410 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #585403 писал(а):

хаусдорфово твп является локально компактным только если оно конечномерно

Это смотря над каким полем.

не смешите

-- Пт июн 15, 2012 16:55:25 --

xmaister в сообщении #585414 писал(а):

о верно. А для какого может быть не верно?

для неполного поля

[apriv]

xmaister в сообщении #585414 писал(а):

apriv
Я уже понял, что для $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ это верно. А для какого может быть не верно?

Для $\mathbb Q$, например, неверно. И, судя по всему, очень смешно.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

по моему имхо, лица традиционной ориентации функаном в нехаусдорфовых лвп над неполными полями не занимаются

[apriv]

(Оффтоп)

Хаусдорфовость тут ни при чем (как и ориентация), про функан вроде бы тоже речи первоначально не было. Может, человек теорией чисел занимается или там экономикой.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Вашему чувству юмора можно позавидовать

[xmaister]

Получается что произвольное подпрострастранство ТВП замкнуто, если хаусдорфовость принять и от локальной компактнсти не щависит

-- 16.06.2012, 23:34 --

Это получилось из того что $X$-хаусдорфово тогла и только тоглда когда $\bigcap\limits_{x\in U}\overline{U}$