
Вам нужно исполтзовать два факта:
1. Критерий конечномерности ТВП (Ф.Рисс, [Едвардс, с.100]).
2. Теорема 3.2 из Шефера + замкнутость следствие полноты.
Можна теорему 3.6 из Шефера вместе с предыдущем абзацом.
Избавиться от локальной компактности или хаусдорфовости в этих рассуждениях нельзя. Оба этих условия нужны для 1 и хаусдорфовость для 2.