lyuk, я разорался в доказательстве, но не могу понять его суть до конца, в смысле как этому прийти можно или это стандартные топологические рассуждения?
Сначала рассматривают компакт

, такой что

. Потом находят окрестности нуля

в

, такие что

. Далее утверждается, что для любого

множество

-компактно. Пусть

- не пусто. Положим, что

- фиксирована,

- произвольная.

. Теперь, т.к. каждое замкнутое множество компакта- компакт, то

- компакт. Далее рассмотрим базу в точке 0-

.

. Т.к.

- компакт, то

. Пусть

и пусть

. Тогда в силу того, что

-

, то существует окрестность нуля

, такая что

, тогда

. Т.е.

, значит

.