Минус первая операция

[Vildar]

Рассмотрим ряд
сложение-умножение-возведение в степень-тетрация
А чтодолжно стоять на месте до сложения?
Где-то видел такую теорию, что до сложения должна быть операция $max(a;b)$
Она, в частности, является дистрибутивной относительно сложения
Кажется это из функции Аккермана для отрицательных показателей следует
кто что может прояснить по этому вопрому

[venco]

В этом ряду каждая следующая бинарная операция получается из предыдущей повторением её несколько раз (определяется вторым операндом). И только сложение получается из предыдущей унарной операции $a' = a+1$ повторением её же несколько раз.
Т.е. перед сложением нулевая операция - унарная.

[Vildar]

хорошо, а как вы определите минус первую операцию?

[venco]

Vildar в сообщении #583946 писал(а):

хорошо, а как вы определите минус первую операцию?

Никак. Нулевая уже унарная. Нет второго операнда, который бы определял количество минус первых операций.

[shust]

Vildar в сообщении #583943 писал(а):

Рассмотрим ряд сложение-умножение-возведение в степень-тетрация А чтодолжно стоять на месте до сложения?

Действие перед сложением можно ввести различными способами, в том числе и упомянутым Вами.
Один из способов (на мой взгляд наиболее логичный) расширить последовательность этих операций как в положительном, так и в отрицательном направлении предложен в теории общего числового действия. В этой теории предусматривается числовой подход (не символьный) к обозначениям арифметических действий.
Выражение общего действия записывается, в частности, в виде
$a[n]h$
и при значениях операционного параметра $n=1,2,3,4$ соответствует ряду

Цитата:

сложение-умножение-возведение в степень-тетрация

.
Согласно этому подходу действие перед сложением является нулевой или, другими словами, нейтральной операцией, которой соответствует значение операционнго параметра $n=0$.
Нулевая операция дает в результате начальный параметр при любом значении второго параметра h, т.е.
$a[0]h=a$.

Vildar в сообщении #583946 писал(а):

а как вы определите минус первую операцию?

Минус первой операции т.е. при $n=-1$ в теории общего действия соответствует обычное действие вычитания, т.е.
$a[-1]h=a-h$
Попутно отмечу, что минус второй операции соответствует деление и минус третьей - логарифмирование.

P.S. При необходимости могу указать литературу и статьи, где этот подход подробно изложен и обоснован с применением соответствующего математического формализма.
К тому же на форуме есть немало тем, в которых различные аспекты общего числового действия обсуждалились.

[Mysterious Light]

shust в сообщении #585592 писал(а):

Нулевая операция дает в результате начальный параметр при любом значении второго параметра h, т.е.
$a[0]h=a$.

$a[0]a=a \neq a+2$
$(a[0]a)\;[0]\;a=a\neq a+3$
Вы уверены, что именно такая операция следует перед сложением?

Поделитесь, пожалуйста, ссылками, какими обладаете. Мне будет интересно почитать, остальным, думаю, тоже.

[shust]

Mysterious Light в сообщении #585806 писал(а):

Вы уверены, что именно такая операция следует перед сложением?

Да, мне кажется, что именно так наиболее логично определить операцию перед сложением.
Замечу,что такая операция будет следовать перед сложением только после того, как она будет определена.
А вот как ее определить - вот это большой вопрос. Это определение должно быть разумно, логично и согласовано с другими действиями (а не взято с потолка).

Можно привести различные мотивировки для такого определения нулевой операции.
Приведу только ту, что связана со связью прямых и обратных операций.
К примеру обратная операция (вычитание) связана с прямой (сложением) следующим известным соотношением
$(a-h)+h=a$
Соответственно для произвольного значения операционного параметра n общего действия должно выполняться соотношение:
$(a[-n]h)[n]h=a$
Нулевая операция, рассматриваемая с точки зрения числового подхода к определению операций, может рассматривать и как прямая, и как обратная операция(-0=0), в определенном смысле как нейтральная операция (аналогия с нейтральным элементом группы).
Ну и предложенное определение нулевой операции свойству связи прямых и обратных операций вполне удовлетворяет.

Другие мотивировки оставляю на усмотрение участников форума.

Mysterious Light в сообщении #585806 писал(а):

Поделитесь, пожалуйста, ссылками, какими обладаете. Мне будет интересно почитать, остальным, думаю, тоже.

Теория общего числового действия для прямых операций представлена в статье
О ЧИСЛОВОЙ ФОРМЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И О РАСШИРЕНИИ МНОЖЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ (http://elibrary.ru/contents.asp?issueid=927727, прямая ссылка http://nkras.ru/vmno/issues/articles/2010/5-1.pdf)

Теория общего числового действия для целых операций представлена в статье
РАСШИРЕНИЕ НАБОРА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ДО МНОЖЕСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В РАМКАХ ОБЩЕГО ДЕЙСТВИЯ (http://elibrary.ru/contents.asp?issueid=868611, прямая ссылка http://www.moluch.ru/archive/18/pdf/)

VectorKV в сообщении #232362 писал(а):

А где можно с ней ознакомится?

Об общем действии говорилось в ряде тем форума:
Выражение 0^0
Количество числовых действий
Расширение пространства операций и других.
Там же указана книга, котороя так и называется Общее числовое действие и некоторые его свойства и в которой эта теория и изложена.

Отмечу, что в книге по сравнению со статьями имеется много дополнительного интересного материала, относящегося к данной проблематике.

[Stanislav30]

Здравствуйте!

Shust,

В 2004 году мой товарищ поделился со мной идеей о такй операции, и мы вместе обсуждали ее отдельные аспекты. Дальше я изложу наши результаты и предположения.

Ваше определение операции, предшествующей сложению, мне представляется неприемлемым, поскольку недостаточно вписано в контекст, общий для нее и остальных, уже известных бинарных числовых операций.
Буду называть набиранием операцию $@$ такую, для которой при любых вещественных $a$ имеем
$\underbrace{a@...@a}_{N}=a+N$.
Расширение известного набора операций в обоих направлениях предлагалось, например, в статье Рубакова в журнале "Кибернетика", 1989.
По его предложению, предположим, что значение набора неравных чисел
$a_1@...@a_N=\max\left\lbrace{a_i}\right\rbrace{+N-1}$.
Но тогда получим, что результат набирания изменяется скачкообразно при прохождении каждой из этих переменных $a_i$ через некоторую точку; при этом результат операции полностью определяется максимальным из элементов набора и не зависит от остальных, пока они не превышают этого максимума.
Эти свойства такой или подобной ей трактовки не позволяют интерпретировать ее единообразно с известными операциями $+$, $\cdot$ и возведением в степень.

Предлагаю Вам рассмотреть более стройное решение этого вопроса.
Вначале отметим, что для сложения можно выделить вещественное число $0$ такое, что
$0=0+0=0+...+0$.
Из дальнейшего увидим, что лучше называть такой элемент множества $\mathbb{R}$ не нейтральным элементом или единицей (по сложению), а иначе. Предлагаю название "базовый элемент".
Это понятие понадобится нам далее, поэтому рассмотрим некоторые детали.
Как видно, для умножения и сложения базовые элементы совпадают с нейтральными: с единицей и нулем, соответственно. Для возведения в степень базовый элемент равен $1$.
Выделим базовый элемент $U$ для набирания:
$U=U@...@U=U+N$
при любой кратности $N$ повтора $U$.

Предположим, что $U=-\infty$ и проверим это интуитивное предположение, проведя еще аналогии с другими операциями:
$a\cdot ... \cdot a =a^N \to 1$ при всех $a\to 1$.
$a+...+a=a\cdot N=0$ при всех $a\to 0$.
В этих примерах число $N$ фиксировано при переменном $a$.
Аналогично, в случае набирания нужно такое число $a$, что при фиксированном, сколь угодно большом $N$ будет
$a@...@a=a+N\to a$ при $a\to U$
Это условие выполнимо, только если $a\to -\infty$.
Отметим, что, по-видимому,
$U@0=-e^{i \pi}$.
Кроме того, полезно рассмотреть равенство
$a^a=a^{a^1}=a^{a^{a^0}}=a^{a^{a^{a^U}}}

Дальнейшее допущение пока не доказано, однако оказывается очень полезным:
$U@U@...@U@a_1 @a_2 @...@a_N=U@a_1 @a_2 @...@a_N=a_1 @a_2 @...@a_N$.
Это допущение состоит в том, что базовый элемент, включенный в состав набора произвольное количество раз, не изменяет его значения. Аналогично обстоит дело со сложением и умножением, но для них анализ включаемости базового элемента затруднен из-за совпадения его с нейтральным элементом этих операций.

Здесь уместно вновь применить метод аналогий и предположить, что одновременно и во взаимосвязи друг с другом справедливы равенства
$a^x \cdot b^x \cdot ... = (a\cdot b \cdot ...)^x$
$ax+bx+...=(a+b+...)x$
$a+x@b+x@...=(a@b@...)+x$.
Все они записаны с соблюдением рангов операций.

Теперь пойдем дальше и расмотрим набор
$a@b$.
Аналогично со сложением и умножением,
$a@a<a@b<b@b$ при $a<b$.
Значит,
$a@b \to b+1+0$ при $b \to \infty$;
$a@b \to a+1+0$ при $b \to -\infty$.
Теперь нетрудно построить график функции

$f=a@x$:
Он проходит через точку $(a; a+2)$ и имеет асимптоты
$f=a+1$,
$f=x+1$.

До сих пор не удалось получить дополнительные условия или соотношения, позволяющие уточнить форму этого графика; но предложен метод аппроксимаций, по которому выбирается функция, обеспечивающая три названных условия: значение в точке и две асимптоты, - на основе которой можно построить алгоритм приближенного вычисления произвольного набора чисел.
Чтобы получить интересующее нас уравнение для
$y=a_1 @a_2 ... @a_N$,
заметим, что ограничения, наложенные на функцию $f=a@x$, удовлетворяются, например, если аппроксимируем ее гиперболой, уравнение которой
$(f-a-1)(f-x-1)=1$.
Отметим, что в соответствии с рассмотренной асимптотикой и с геометрическим построением можно сформулировать это уравнение иначе:
$(f-(U@a))(f-(U@x))=2-1=1$.
В правой части уравнения двойка является количеством элементов в наборе $a@x$. Это можно получить по индукции, рассмотрев последовательность функций
$f=a@x$,
$f=a@a@x$,
$f=a@...@a@x$.
Для них в общем виде получаем уравнение
$\underbrace{(f-a-N+1)...(f-a-N+1)}_{N-1}(f-x-N+1)=N-1$.
Это уравнение удовлетворяет и условию вынесения слагаемого за скобку, поскольку это слагаемое входит одновременно в элементы набора и в его результат.

Для набора из произвольных неравных чисел аналогичное рассмотрение асимптотики, с учетом свойств базового элемента, позволяет записать немного более сложное выражение:
$y=a_1 @a_2 ... @a_N\Longleftrightarrow (y-r_1)...(y-r_N)=N-1$,
где
$r_i=Кa_1 @...@a_N$ с исключенным элементом $a_i$.
Как нетрудно видеть, смысл этого характеристического уравнения состоит в том, что значение набора равно максимальному из корней специального многочлена - по общей традиции, назовем его характеристическим.

Таким образом, аппроксимированное значение набора находится путем применения итерационной процедуры. Значение набора оказывается зависящим одновременно и непрерывно от всех его элементов. Разумеется, при другом выборе аппроксимации и характеристическое уравнение примет иной вид.

Однако именно эта, гиперболическая аппроксимация для меня предпочтительна потому, что она самая простая, но при этом удовлетворяет всем предъявленным требованиям.

[arseniiv]

Ну писали бы хоть \mathbin@: $a\mathbin@a$ vs. $a@a$. (А вообще есть большое число более удобных обозначений для операции.)

shust в сообщении #586628 писал(а):

Соответственно для произвольного значения операционного параметра n общего действия должно выполняться соотношение:
$(a[-n]h)[n]h=a$
Нулевая операция, рассматриваемая с точки зрения числового подхода к определению операций, может рассматривать и как прямая, и как обратная операция(-0=0), в определенном смысле как нейтральная операция (аналогия с нейтральным элементом группы).

1. А если сложение считать не первой операцией, а второй, третьей и т. п.?
2. Из $(x*y)*y = x$ в общем случае не следует $x*y = x$. Какие дополнительные предположения считать естественными?

[Stanislav30]

Мы с товарищем пользуемся этим обозначением уже десять лет; оно было выбрано, в том числе, и из практических соображений.

-- 14.03.2015, 12:14 --

Более корректно было бы использовать обозначение для множеств:
$a\mathbin @ a=\lbrace a,a\rbrace$.
Заметим, что эта операция неассоциативна. А ее смысл и связь с реальностью состоят, как раз, в мысленном образовании множества данных чисел, их набора.

-- 14.03.2015, 12:26 --

Я заметил у себя ошибку в характеристическом уравнении для частного случая
$f=a\mathbin @a\mathbin @ ... \mathbin@ x$. Конечно же, для этого пробного случая
$\underbrace{(f-a-N+1)...(f-a-N+1)}_{N-1} (f-x-1)=N-1$.
Это уравнение аппроксимирует данный частный случай и послужило лишь опорным примером при выводе более общего выражения, содержащего $r_i$

[Stanislav30]

Здравствуйте!

Написана компьютерная программа для вычисления значений наборов, и с ее помощью в характеристическом уравнении общего вида, приведенном выше, обнаружены две ошибки. Корректное уравнение - решение которого обладает всеми изложенными свойствами операции $@$ - имеет следующий вид:

$\prod\limits_{i=1}^{N}{(y-r_i)(y-x_i)}=(N-1)^N$,

где

$y=\lbrace x_1, ..., x_N\rbrace$,
$r_i=\lbrace x_1, ..., x_N\rbrace$ без $x_i$.

[Stanislav30]

Конечно, правильный вид характеристического уравнения - следующий:

Stanislav30 в сообщении #991116 писал(а):

Здравствуйте!
$\prod\limits_{i=1}^{N}{(y-r_i)(y-\lbrace x_i \rbrace)}=(N-1)^N$.

Фигурные скобки означают набор из одного элемента $x_i$, равный $x_i +1$.

В общем случае, помимо иерархического характера всех требуемых операций, основная трудность решения этого уравнения заключается в необходимости применять метод последовательных приближений, который при больших значениях чисел, составляющих набор, требует тщательной формулировки и специальных приемов для обеспечения надежности. Например, я запрограммировал решение по методу хорд, применительно к нахождению нуля функции

$f(x)=^N\sqrt{\prod\limits_{i=1}^{N}{(y-r_i)(y-\lbrace x_i \rbrace)}}-N+1$.

При слишком больших по модулю значениях какого-либо из $x_i$ решение или расходится, или сходится слишком медленно.

[Stanislav30]

Мне удалось просто улучшить алгоритм решения и снизить число итераций, вместе с повышением допустимого диапазона значений элементов набора. Поэтому готов удобный калькулятор для набирания вещественных чисел, написанный на языке VBA.

По-видимому, вычисление набора сводится к последовательному вычислению крайних правых корней множества иерархически упорядоченных многочленов степеней от первой до заданной, причем коэффициенты каждого полинома рассчитываются на основе корней полиномов предыдущей, менее высокой степени.

[Stanislav30]

1. Для этой операции можно привести геометрический аналог, конечно, не вычисляемый с ее помощью: полупериметр прямоугольника вычисляется как сумма его высоты и ширины; он в некотором отношении характеризует размеры фигуры, но почти не дает информации о ее сторонах и о площади, важной числовой характеристике прямоугольников. Аналогично и набирание: оно несет мало информации о каждом из нескольких операндов и почти никакой - об их среднем арифметическом, тоже широко используемой характеристике неупорядоченного конечного множества чисел.

2. Строго смотря, моя версия набирания может рассматриваться или как одна счетноместная, или как счетное множество разных однотипных операций со всеми возможными натуральными арностями. В любом из этих случаев, будем и дальше условно говорить "эта операция", "операция". Для нее на замыкании числовой прямой точками $\infty$ и $-\infty$ существуют два идемпотента - замыкающие точки. И только один из них можно назвать квазинейтральным элементом по этой операции, поскольку при добавлении его к множеству операндов результат не меняется. Это не нейтральный элемент, поскольку только что описанное свойство неприменимо в случае одного операнда.

3. Элементарно выводится, что для операции с такими свойствами не может быть нейтрального элемента, поскольку иначе получалось бы противоречие: он одновременно должен быть и равен, и не равен квазинейтральному элементу.

4. По-видимому, в моем предложении об этой операции сделана попытка обойти противоречие: если эту операцию считаем бинарной,то в силу ее неассоциативности сложение не может быть ее сокращенной записью в случае многих одинаковых операндов, поскольку одинаковых операндов при этом может быть только два.
С другой стороны, если эту одну операцию заменить на множество таких операций со всеми натуральными арностями, то сложение становится их сокращенной записью, но в то же время эта операция - набирание - тогда уже не может рассматриваться как сокращенная запись какой-либо еще операции.

При этом втором подходе, однако, получается все же смысловое несоответствие: произведение - это сокращенная запись суммы и степень - это сокращенная запись произведения -- не в том же смысле, в каком сумма - сокращенная запись моей версии набирания. Дело в том, что в сумме или в произведении не стоят, но подразумеваются скобки, выделяющие пары операндов; поэтому при сокращенной записи суммы (произведения) натуральный множитель (соотв., показатель степени) означает количество разновременных применений бинарной операции плюс один. А при сокращенной записи набора с помощью суммы натуральное слагаемое в ней означает количество операндов, к которым операция применяется единовременно.

Непрерывность результата этой операции никак не зависит от ее арности.

-- 18.05.2015, 02:42 --

Можно трактовать "набор" натуральных чисел как сокращенную запись какой-то другой числовой операции следующим образом. Если дано в "наборе" $n$ натуральных операндов, то этот "набор" можно положить равным результату применения некоторой предшествующей операции к $n$-мерному множеству одинаковых элементов. Размерности этого многомерного множества равны операндам в "наборе".